소수 — 자릿값, 반올림, 연산

소수는 $10$진법에서 자릿값을 이용해 정수와 전체의 일부를 함께 나타내는 수입니다. 소수점 오른쪽의 숫자는 10분의 1, 100분의 1, 1000분의 1처럼 더 작은 부분을 뜻합니다.

$4.386$에서 $4$는 일의 자리 $4$, $3$은 10분의 1이 $3$개, $8$은 100분의 1이 $8$개, $6$은 1000분의 1이 $6$개를 뜻합니다. 이 자릿값 개념이 이해되면 소수를 비교하고, 반올림하고, 계산하는 일이 훨씬 쉬워집니다.

소수의 자릿값은 어떻게 작동할까

각 자리는 바로 왼쪽 자리의 10분의 1 값입니다.

그래서

$$0.1 = \frac{1}{10}, \quad 0.01 = \frac{1}{100}, \quad 0.001 = \frac{1}{1000}$$

이고,

$$4.386 = 4 + \frac{3}{10} + \frac{8}{100} + \frac{6}{1000}$$

가 됩니다.

이것이 소수를 읽고, 비교하고, 반올림하고, 연산할 때의 핵심 아이디어입니다.

소수를 올바르게 비교하는 방법

가장 큰 자릿값부터 비교하세요. 일의 자리가 같으면 소수 첫째 자리, 그다음은 소수 둘째 자리, 그다음은 소수 셋째 자리를 봅니다.

예를 들어 $2.5$와 $2.49$를 비교해 봅시다. 둘 다 일의 자리는 $2$입니다. 다음으로 소수 첫째 자리를 비교하면 $2.5$는 10분의 1이 $5$개이고, $2.49$는 10분의 1이 $4$개입니다. 따라서

$$2.5 > 2.49$$

입니다.

비교할 때는 끝에 $0$을 붙여 쓰면 도움이 되는 경우가 많습니다.

$$2.5 = 2.50$$

오른쪽 끝에 $0$을 붙여도 값은 변하지 않습니다.

소수를 반올림하는 방법

반올림은 어떤 수를 사용하기 더 쉬운 가까운 값으로 바꾸는 것입니다. 규칙은 어느 자리로 반올림하느냐에 따라 달라집니다.

$4.386$을 소수 둘째 자리까지 반올림하려면 소수 셋째 자리 숫자를 봅니다. 그 숫자가 $6$이므로 소수 둘째 자리 숫자를 올립니다.

$$4.386 \approx 4.39$$

같은 수를 소수 첫째 자리까지 반올림하려면 소수 둘째 자리 숫자를 봅니다. 그 숫자가 $8$이므로 소수 첫째 자리 숫자를 올립니다.

$$4.386 \approx 4.4$$

조건이 중요합니다. "소수 첫째 자리까지"와 "소수 둘째 자리까지"는 서로 다른 질문이므로 답도 달라질 수 있습니다.

소수의 연산은 어떻게 할까

덧셈과 뺄셈

같은 자릿값이 같은 세로줄에 오도록 소수점을 맞추세요.

예를 들면,

$$12.45 + 3.7 = 12.45 + 3.70 = 16.15$$

입니다.

붙인 $0$은 $3.7$의 값을 바꾸지 않습니다. 자릿값을 맞추기 쉽게 해 줄 뿐입니다.

뺄셈도 같은 방식입니다.

$$12.45 - 3.70 = 8.75$$

곱셈

소수의 곱에서는 결과의 소수 자릿수가 두 인수보다 더 많을 수 있습니다. 이때 크기를 확인해 보는 것이 좋은 점검 방법입니다.

예를 들어,

$$0.4 \times 0.3 = 0.12$$

입니다.

이 결과는 두 인수가 모두 양수이고 $1$보다 작으므로, 곱은 각 인수보다 더 작아야 한다는 점에서 타당합니다.

나눗셈

나눗셈은 몇 개의 묶음이 들어가는지, 또는 각 묶음의 크기가 얼마인지를 묻는 연산입니다. 소수의 나눗셈에서는 나누는 수를 정수로 바꾸어 쓰는 것이 가장 쉬운 경우가 많습니다.

예를 들어,

$$1.26 \div 0.3 = 12.6 \div 3 = 4.2$$

입니다.

이것이 가능한 이유는 나누는 수가 $0$이 아닌 한, 나누어지는 수와 나누는 수에 같은 $10$의 거듭제곱을 곱해도 몫은 변하지 않기 때문입니다.

처음부터 끝까지 보는 예제 하나

어떤 달리기 선수가 하루에 $12.45$km를 달리고, 다음 날 $3.7$km를 달렸다고 해 봅시다.

먼저 거리를 더합니다.

$$12.45 + 3.70 = 16.15$$

이제 전체 거리를 소수 첫째 자리까지 반올림합니다. 소수 첫째 자리 숫자는 $1$이고 소수 둘째 자리 숫자는 $5$이므로 소수 첫째 자리 숫자를 올립니다.

$$16.15 \approx 16.2$$

이 예제는 전체 과정을 보여 줍니다. 덧셈할 때는 소수점을 맞추고, 반올림할 때는 목표 자리 바로 오른쪽 숫자를 확인합니다.

소수에서 자주 하는 실수

자릿값이 아니라 숫자 개수로 비교하기

$0.9$는 $0.35$보다 큽니다. $35$가 $9$보다 커 보이더라도 그렇습니다. 소수 첫째 자리가 소수 둘째 자리보다 먼저이므로 비교는 자릿값으로 결정됩니다.

소수점을 맞추지 않는 실수

덧셈과 뺄셈에서는 마지막 숫자를 맞추는 것이 아니라 자릿값에 맞춰 정렬해야 합니다.

소수 자릿수가 많으면 더 큰 수라고 생각하기

$2.50$과 $2.5$는 같습니다. 오른쪽 끝에 붙은 $0$은 값에 영향을 주지 않습니다.

모든 분수가 끝나는 소수라고 생각하기

$0.25$처럼 유한소수로 끝나는 소수도 있습니다. 하지만 다음과 같이 끝없이 반복되는 소수도 있습니다.

$$\frac{1}{3} = 0.333\ldots$$

따라서 실수를 나타내는 소수라고 해서 반드시 끝나야 하는 것은 아닙니다.

소수는 어디에 쓰일까

소수는 10진법의 정밀함이 필요한 곳에서 쓰이며, 특히 돈, 측정, 통계, 과학 데이터에서 중요합니다.

자릿값 덕분에 어림하고, 반올림하고, 서로 다른 정밀도의 양을 비교하기 쉬워서 실용적입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

$7.268$에서 소수 첫째 자리, 소수 둘째 자리, 소수 셋째 자리 숫자를 말해 보세요. 그런 다음 이 수를 소수 첫째 자리와 소수 둘째 자리까지 각각 반올림해 보세요. 그다음 소수점을 맞추어 $7.268 + 0.45$를 계산해 보세요. 이 순서를 해 보면 핵심 개념을 정말 이해했는지 확인할 수 있습니다.