전달함수

전달함수는 선형 시불변 시스템의 입력과 출력을 라플라스 영역에서 연결하는 규칙입니다. 초기조건이 0일 때, 전달함수는 다음과 같이 정의됩니다.

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$

여기서 $X(s)$는 변환된 입력이고, $Y(s)$는 변환된 출력입니다. 쉽게 말해, 매번 미분방정식을 처음부터 다시 풀지 않고도 시스템이 서로 다른 입력에 얼마나 강하게 반응하는지 알려줍니다.

하지만 이것이 아무 상황에서나 단순히 "출력을 입력으로 나눈 것"을 뜻하는 것은 아닙니다. 이 정의는 특정 조건에서만 성립하며, 그 조건이 중요합니다.

전달함수가 알려주는 것

전달함수는 시스템의 거동을 하나의 식으로 묶어 줍니다. $H(s)$를 알고 있으면, 시스템이 입력의 일부를 증폭하는지, 줄이는지, 지연시키는지, 또는 필터링하는지를 종종 바로 파악할 수 있습니다.

정현파 정상상태 문제에서는 이를 허수축 위에서 $H(i\omega)$로 평가합니다. 그러면 실용적으로 중요한 두 가지 정보를 얻을 수 있습니다.

• 크기(magnitude): 각주파수 $\omega$의 정현파 입력이 얼마나 증폭되거나 감쇠되는지 알려줍니다.
• 위상(phase): 출력이 입력에 비해 얼마나 이동하는지 알려줍니다.

그래서 전달함수는 회로, 진동, 필터링, 제어에서 자주 등장합니다.

언제 $H(s) = Y(s)/X(s)$가 유효한가

일반적인 공식은 시스템이 선형이고 시불변이라고 가정합니다. 선형성이 성립하지 않으면 입력들이 중첩 원리대로 결합되지 않습니다. 시불변성이 성립하지 않으면 시스템이 시간에 따라 다르게 동작할 수 있으므로, 하나의 고정된 전달함수만으로는 충분하지 않습니다.

초기조건이 0이라는 점도 중요합니다. 커패시터, 인덕터, 또는 기계적 진동자에 저장된 에너지는 실제 출력을 바꾸지만, 그 추가 기여는 전달함수 자체에 포함되지 않습니다. 전달함수는 표준적인 0 초기조건 설정에서 시스템이 본래 갖는 입력-출력 규칙을 설명합니다.

예제: RC 저역통과 필터

저항 $R$과 커패시터 $C$를 직렬로 연결하고, 출력은 커패시터 양단에서 측정해 봅시다. 라플라스 영역에서 커패시터의 임피던스는 $1/(sC)$이므로, 전압 분배 법칙에 따라

$$H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}} = \frac{1}{1 + sRC}$$

를 얻습니다.

이것은 저역통과 전달함수입니다. 낮은 주파수는 높은 주파수보다 더 쉽게 통과하므로, 출력은 입력을 매끄럽게 만든 형태처럼 보입니다.

이제 구체적인 값을 하나 정해 봅시다.

$$R = 1000\ \Omega, \qquad C = 1\ \mu\mathrm{F}$$

그러면

$$RC = 10^{-3}\ \mathrm{s}$$

이므로 전달함수는

$$H(s) = \frac{1}{1 + 0.001s}$$

가 됩니다.

차단 각주파수는

$$\omega_c = \frac{1}{RC} = 1000\ \mathrm{rad/s}$$

이고, 이는

$$f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} \approx 159\ \mathrm{Hz}$$

에 해당합니다.

차단 주파수에서

$$\left|H(i\omega_c)\right| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$$

입니다.

따라서 그 주파수에서 출력 진폭은 입력 진폭의 약 $70.7\%$입니다. 이 숫자 하나만으로도 유용한 사실을 알 수 있습니다. 즉, 이 회로는 약 $159\ \mathrm{Hz}$ 부근과 그 이상의 신호를 눈에 띄게 감쇠하기 시작합니다.

직관을 빠르게 확인해 보면, $\omega \ll 1000\ \mathrm{rad/s}$일 때는 $|H(i\omega)|$가 $1$에 가깝기 때문에 출력 크기가 입력과 거의 같습니다. 반대로 $\omega \gg 1000\ \mathrm{rad/s}$이면 크기가 작아지므로 빠른 진동 성분은 크게 줄어듭니다.

전달함수에서 흔한 실수

• 선형 시불변으로 모델링하지 않는 시스템에 전달함수라는 용어를 사용하는 것
• 어떤 변수가 입력이고 어떤 변수가 출력인지 정의하지 않는 것
• 전달함수에 임의의 초기조건이 이미 포함되어 있다고 생각하는 것
• 일반적인 라플라스 영역 전달함수 $H(s)$와 주파수 응답 $H(i\omega)$를 혼동하는 것
• 물리적으로 위상이 중요한데도 크기만 보고 위상 변화를 무시하는 것

전달함수는 어디에 쓰이나

전달함수는 시스템을 선형 미분방정식으로 모델링할 수 있고, 입력이 출력으로 어떻게 전달되는지가 중요할 때 유용합니다. 대표적인 예로는 RC 및 RLC 회로, 감쇠된 기계 진동자, 피드백 시스템, 단순한 센서 모델이 있습니다.

물리학에서는 특히 전체 시간에 따른 거동보다, 시스템이 주파수에 따라 구동, 필터링, 진동에 어떻게 반응하는지가 핵심일 때 매우 유용합니다.

비슷한 전달함수를 직접 해보기

같은 RC 회로에서 이번에는 커패시터가 아니라 저항 양단의 전압을 출력으로 잡아 보세요. 그러면 고역통과 전달함수를 얻게 되고, 이 비교를 통해 중요한 한 가지가 분명해집니다. 출력이 바뀌면 전달함수도 바뀝니다.