근궤적법

근궤적(root locus)은 이득이 변할 때 폐루프 극이 어디로 이동할 수 있는지 보는 제어시스템 기법입니다. 표준 연속시간 음의 되먹임 설정에서는 그 이득을 보통 $K \ge 0$로 쓰며, 그래프는 복소수 $s$-평면에 그려집니다.

이것이 중요한 이유는 극의 위치가 시스템 거동과 연결되기 때문입니다. 연속시간 선형 시스템에서는 왼쪽 반평면의 극이 안정한 모드와 관련되므로, 근궤적은 이득 변화가 안정성을 어떻게 좋게 하거나 나쁘게 하는지 빠르게 판단하게 해 줍니다.

개루프 전달요소를 $K G(s)H(s)$로 쓰면, 폐루프 극은 다음 방정식의 해입니다.

$$1 + K G(s)H(s) = 0$$

따라서 근궤적은 $K$가 변할 때 가능한 모든 폐루프 극 위치의 집합입니다.

근궤적 그래프가 보여주는 것

이 그래프는 임의의 점들을 보여주는 것이 아닙니다. 하나의 특정한 되먹임 모델과 하나의 이득 범위에 대해 가능한 폐루프 극 위치를 보여줍니다.

직관의 대부분은 다음 두 사실에서 나옵니다.

• 가지는 $K = 0$일 때 개루프 극에서 시작합니다.
• 가지는 개루프 영점에서 끝나거나 $K \to \infty$일 때 무한대로 갑니다.

그래서 실제 질문은 단순합니다. 이득을 올리면 극이 어디로 가는가?

학생들이 근궤적을 사용하는 이유

근궤적을 극의 이동도라고 생각해 보세요. $K$의 값마다 완전히 새로운 문제를 다시 푸는 것이 아닙니다. 이득이 연속적으로 변할 때 극이 따라가는 경로를 추적하는 것입니다.

그래서 이 방법이 설계에 유용합니다. 여러 이득을 하나씩 따로 시험하는 대신, 하나의 그래프에서 전체 경향을 볼 수 있습니다.

예제: $L(s) = \frac{K}{s(s+2)}$의 근궤적

다음 개루프 전달요소를 생각해 봅시다.

$$L(s) = \frac{K}{s(s+2)}$$

단위 음의 되먹임을 가정합니다. 폐루프 특성방정식은

$$1 + \frac{K}{s(s+2)} = 0$$

양변에 $s(s+2)$를 곱하면

$$s(s+2) + K = 0$$

따라서

$$s^2 + 2s + K = 0$$

이제 폐루프 극을 구하면

$$s = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4K}}{2} = -1 \pm \sqrt{1-K}$$

이 식만으로도 근궤적의 핵심 거동이 이미 드러납니다.

$K = 0$이면 극은 $s = 0$과 $s = -2$에 있습니다. 이것들이 개루프 극이므로, 근궤적의 시작점입니다.

$0 < K < 1$이면 두 극은 모두 실수축 위에 남아 있습니다.

$$s = -1 \pm \sqrt{1-K}$$

$K$가 증가할수록 이 극들은 실수축을 따라 서로 가까워집니다.

$K = 1$이면 두 극은

$$s = -1$$

에서 만납니다.

$K > 1$이면 제곱근이 허수가 되므로, 극은 켤레복소수 한 쌍이 됩니다.

$$s = -1 \pm i\sqrt{K-1}$$

이제 실수부는 $-1$로 고정되고, 극은 위아래로 수직 이동합니다.

이로써 전체 흐름을 한눈에 볼 수 있습니다.

• 가지는 $0$과 $-2$에서 시작합니다.
• $-1$에서 만납니다.
• 그 뒤에는 켤레복소수 쌍으로 실수축을 떠납니다.
• 유한한 영점이 없으므로 가지는 무한대로 갑니다.

모든 $K > 0$에 대해 실수부가 음수로 유지되므로, 이 특정한 폐루프 시스템은 모든 양의 이득에서 왼쪽 반평면에 머뭅니다. 이 결론은 이 예제와 연속시간 설정에 의존합니다.

근궤적에서 흔한 실수

개루프 극과 폐루프 극을 혼동하기

근궤적은 폐루프 특성방정식에서 나옵니다. 개루프 극과 영점은 스케치를 안내하지만, 근궤적 자체는 폐루프 극이 어디로 이동할 수 있는지를 보여줍니다.

되먹임 부호를 잊기

위의 표준형은 음의 되먹임과 보통 $K \ge 0$을 사용합니다. 되먹임 부호나 이득 범위가 바뀌면 근궤적도 달라집니다.

설정을 밝히지 않고 안정성을 읽기

연속시간 시스템에서는 왼쪽 반평면의 극이 점근안정을 뜻합니다. 이산시간 시스템은 안정 영역이 다르므로, 같은 시각적 규칙을 그대로 적용할 수 없습니다.

그래프를 시간응답 그래프로 취급하기

근궤적은 극의 위치를 알려줍니다. 극의 위치를 특정 모델과 근사와 연결하지 않는 한, 오버슈트·정착시간·응답 크기를 직접 알려주지는 않습니다.

근궤적법은 언제 쓰는가

근궤적은 이득을 조정하면서 그 조정이 선형 되먹임 시스템의 극 위치를 어떻게 바꾸는지 알고 싶을 때 사용합니다.

이것은 기초 제어 설계에서 자주 나옵니다. 특히 극을 안정 영역 안에 유지하거나 더 빠르거나 더 느린 응답 쪽으로 옮기는 이득을 찾고 싶을 때 그렇습니다. 소프트웨어가 그래프를 대신 그려 주더라도, 이 개념은 그래프가 실제로 무엇을 말하는지 이해하게 해 주므로 여전히 중요합니다.

어떤 근궤적 문제든 시작하는 방법

무엇이든 스케치하기 전에 다음 질문에 답해 보세요.

1. 특성방정식은 무엇인가?
2. 개루프 극과 영점은 어디에 있는가?
3. $K \ge 0$인 표준 음의 되먹임 구조를 쓰고 있는가?

이 세 가지가 불분명하면 그래프를 잘못 읽기 쉽습니다.

직접 해 보기

다음 식에 대해서도 같은 과정을 해 보세요.

$$L(s) = \frac{K}{s(s+1)}$$

폐루프 특성방정식을 쓰고, 극을 구한 뒤, $K$가 증가할 때 어떤 일이 일어나는지 추적해 보세요. 두 가지가 어디서 시작하는지와 언제 순수한 실근이 아니게 되는지를 알아낼 수 있다면, 근궤적의 핵심 아이디어를 이해한 것입니다.