구의 겉넓이 공식과 예제

구의 겉넓이는 구의 바깥을 모두 덮는 전체 넓이입니다. 반지름이 $r$이면 공식은 다음과 같습니다.

$$A = 4\pi r^2$$

문제에서 지름 $d$가 주어졌다면 먼저 $r = d/2$로 바꾸세요. 같은 관계를 다음과 같이 다시 쓸 수도 있습니다.

$$A = \pi d^2$$

이는 $4\pi (d/2)^2 = \pi d^2$이기 때문입니다.

반지름을 알고 있을 때는 $4\pi r^2$를 사용하세요. $\pi d^2$는 $d$가 지름이라는 것이 확실할 때만 사용해야 합니다.

구의 겉넓이 공식의 의미

겉넓이는 길이가 아니라 덮는 넓이를 나타내므로 제곱단위로 측정합니다. 반지름의 단위가 센티미터이면 답의 단위는 $\text{cm}^2$가 됩니다.

$r^2$ 항은 넓이가 반지름의 제곱에 따라 커진다는 뜻입니다. 반지름이 2배가 되면 겉넓이는 4배가 됩니다.

$4\pi$라는 계수는 구에만 해당합니다. 비교해 보면, 반지름이 같은 원의 넓이는 $\pi r^2$이므로 구의 겉넓이는 그 원의 넓이의 4배입니다.

풀이 예제: 반지름이 $5$ cm인 구의 겉넓이

반지름이 $5\text{ cm}$인 구가 있다고 합시다. 먼저 공식을 씁니다.

$$A = 4\pi r^2$$

$r = 5$를 대입하면

$$A = 4\pi(5^2)$$

반지름을 제곱하고 정리하면

$$A = 4\pi(25) = 100\pi \text{ cm}^2$$

따라서 정확한 겉넓이는 $100\pi \text{ cm}^2$입니다.

소수 근삿값이 필요하다면 $\pi \approx 3.14$를 사용합니다.

$$A \approx 314 \text{ cm}^2$$

보통 여기까지면 풀이로 충분합니다. 문제에서 $\pi$를 포함한 정확한 값을 원하면 그대로 두고, 근삿값을 요구하면 소수로 나타내면 됩니다.

문제에서 지름이 주어질 때

지름이 $8\text{ m}$이면 반지름은 $4\text{ m}$이므로

$$A = 4\pi(4^2) = 64\pi \text{ m}^2$$

또는 지름을 이용한 같은 공식을 바로 써도 됩니다.

$$A = \pi d^2 = \pi(8^2) = 64\pi \text{ m}^2$$

두 방법의 결과는 같습니다. 중요한 점은 처음 주어진 수가 반지름인지 지름인지 정확히 아는 것입니다.

구의 겉넓이에서 자주 하는 실수

가장 흔한 실수는 지름을 반지름처럼 사용하는 것입니다. 공식에 $r$가 있으면 그것은 반지름을 뜻합니다.

또 다른 실수는 반지름의 제곱을 빼먹는 것입니다. $4\pi r^2$ 대신 $4\pi r$를 쓰면 단위도 틀리고 값도 틀립니다.

마지막 답에서 제곱단위를 빠뜨리는 학생도 있습니다. 겉넓이는 $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{in}^2$ 같은 단위로 써야 합니다.

문제에서 정확한 값을 요구하면 결과에 $\pi$를 남겨 두세요. 소수 근삿값을 요구하면, 별도 지시가 없는 한 마지막에만 반올림하세요.

이 공식을 사용하는 경우

구의 겉넓이는 둥근 물체의 바깥을 덮는 넓이가 중요할 때 사용합니다. 기하 수업에서는 보통 측정 문제를 푸는 데 쓰입니다. 실제 응용에서는 물체를 구로 적절히 모델링할 수 있을 때 코팅 면적, 열교환 면적, 또는 바깥으로 드러난 표면적을 추정할 때 같은 개념이 쓰입니다.

단, 조건이 중요합니다. 실제 물체는 완전한 구인 경우가 드물기 때문에, 이 공식은 구 모형이 충분히 좋은 근사일 때만 정확합니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

반지름이 $9\text{ cm}$인 구의 겉넓이를 구해 보세요. 그런 다음 지름 $18\text{ cm}$부터 시작해서 같은 문제를 다시 풀고, 두 방법의 결과가 같은지 확인해 보세요.