사다리꼴 넓이 공식 — 공식과 단계별 풀이

사다리꼴의 넓이는 다음 공식을 사용합니다.

$$A = \frac{1}{2}(b_1 + b_2)h$$

여기서 $b_1$과 $b_2$는 서로 평행한 두 변이고, $h$는 그 사이의 수직 높이입니다. 주어진 변이 수직이 아니라 기울어진 변이라면, 이 공식에서 말하는 높이가 아닙니다.

사다리꼴 넓이 공식

같은 공식을 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

$$A = \left(\frac{b_1 + b_2}{2}\right)h$$

이 식은 핵심 아이디어를 보여 줍니다. 사다리꼴은 가로 길이가 두 평행한 변의 평균인 직사각형처럼 생각할 수 있습니다. 그래서 밑변을 더하고, $2$로 나눈 뒤, 높이를 곱합니다.

만약 두 평행한 변의 길이가 같다면 사다리꼴은 직사각형이 됩니다. 그러면 공식은 다음과 같이 단순해집니다.

$$A = \frac{1}{2}(b + b)h = bh$$

이것은 공식이 타당한지 빠르게 확인하는 방법이 됩니다.

밑변이 $8$ cm와 $14$ cm인 예제

어떤 사다리꼴의 평행한 두 변의 길이가 $8$ cm와 $14$ cm이고, 수직 높이가 $5$ cm라고 해 봅시다.

먼저 공식을 씁니다.

$$A = \frac{1}{2}(b_1 + b_2)h$$

값을 대입하면

$$A = \frac{1}{2}(8 + 14)(5)$$

평행한 두 변을 더하면

$$A = \frac{1}{2}(22)(5)$$

곱하고 정리하면

$$A = 11 \cdot 5 = 55$$

따라서 넓이는

$$55\ \text{cm}^2$$

입니다.

빠르게 확인해 볼 수도 있습니다. $8$과 $14$의 평균은 $11$이므로, 이 사다리꼴은 가로가 $11$ cm이고 높이가 $5$ cm인 직사각형과 같은 넓이를 가져야 합니다. 이렇게 계산해도 $55\ \text{cm}^2$가 나옵니다.

사다리꼴 넓이를 구할 때 자주 하는 실수

1. 평행하지 않은 변을 밑변 중 하나로 사용하는 것
2. 수직이 아닌 기울어진 변을 높이로 사용하는 것
3. $\frac{1}{2}$를 빼먹는 것
4. 두 평행한 변을 모두 쓰지 않고 한 밑변에만 높이를 곱하는 것
5. 답을 제곱단위가 아닌 일반 단위로 쓰는 것

사다리꼴 넓이를 사용하는 경우

이 공식은 기하 수업, 합성도형 문제, 평면도, 토지 측량 도면에서 자주 나옵니다. 또한 한 쌍의 변이 평행한 사각형을 다루는 좌표기하에서도 등장합니다.

실생활 응용 문제에서는 올바른 평행한 두 변과 정확한 수직 높이를 찾는 것이 핵심입니다. 이 둘만 제대로 고르면 계산은 보통 어렵지 않습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

평행한 두 변이 $6$ m와 $10$ m이고 높이가 $4$ m인 경우를 직접 풀어 보세요. 그런 다음 높이만 바꿔서 다시 계산해 보세요. 그다음에는 높이는 그대로 두고 밑변이 바뀌면 무엇이 달라지는지도 비교해 보세요.