極座標 — 変換・グラフ・方程式

極座標は、横と縦の位置ではなく、距離と角度で点を表します。点 $(r,\theta)$ は、「正の $x$ 軸から角 $\theta$ の方向に、原点から $r$ だけ進む」という意味です。グラフや問題が、原点からの距離やそのまわりの回転に自然に関係しているときに特に便利です。

極座標とデカルト座標を変換するには、

$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta$$

と

$$r^2 = x^2 + y^2$$

を使います。

デカルト座標の点から角度を求めるときは、$\tan\theta = \frac{y}{x}$ を $x \ne 0$ のときに使い、あわせて象限も確認します。この条件は重要です。同じ正接の値が複数の象限で現れるからです。

$(r,\theta)$ の意味

デカルト座標では、$(3,4)$ は $x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $4$ 進むことを意味します。極座標では、$(5,\theta)$ は原点から $5$ 進み、さらに $\theta$ だけ回転することを意味します。

この見方は、円、らせん、中心のまわりの運動によりよく合っています。また、極座標が一意でない理由もわかります。$(r,\theta)$ と $(r,\theta + 2\pi)$ は同じ点で、$(r,\theta)$ と $(-r,\theta + \pi)$ も同じ点です。

極座標とデカルト座標を変換する方法

極座標からデカルト座標へ変換するときは、$r$ と $\theta$ を

$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta$$

に代入します。

デカルト座標から極座標へ変換するときは、まず距離を求めます。

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$

次に、正しい象限を向く角 $\theta$ を選びます。たとえば点 $(-3,3)$ では $\tan\theta = -1$ ですが、正しい角は第II象限にあるので、$\theta = \frac{3\pi}{4}$ であり、$-\frac{\pi}{4}$ ではありません。

特別な場合が1つあります。原点では $r = 0$ で、角は一意に定まりません。どの角でも同じ点になります。

極方程式のグラフの描き方

極方程式は、$\theta$ が変化するときに $r$ がどう変わるかを表します。これは、通常 $y$ と $x$ の関係を直接表すデカルト座標の方程式とは異なります。

そのため、$r = 2$、$r = 1 + \cos\theta$、$r = \theta$ のような式は極形式で自然に見えます。これらは、角度が変わるときの原点からの距離を表しているからです。

例題：$r = 2\cos\theta$ をデカルト形式に変換する

この例では、極方程式の中に見慣れたグラフが隠れていることがわかります。まず

$$r = 2\cos\theta$$

から始めます。

両辺に $r$ をかけると、

$$r^2 = 2r\cos\theta$$

となります。

ここで $r^2 = x^2 + y^2$ と $r\cos\theta = x$ を使うと、

$$x^2 + y^2 = 2x$$

です。

平方完成すると、

$$x^2 - 2x + y^2 = 0$$ $$(x - 1)^2 + y^2 = 1$$

となります。

したがって、グラフは中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円です。

これで形の理由も説明できます。$\theta = 0$ の近くでは $\cos\theta$ は正で最大なので、曲線は右へ伸びます。$\cos\theta$ が負になると $r$ も負になりますが、そのとき点は $\pi$ だけ反対側に移り、同じ円をたどります。

極座標でよくあるミス

よくあるミスの1つは、各点に極座標表示が1つしかないと思い込むことです。実際にはそうではないので、2つの答えが違って見えても同じ点を表していることがあります。

もう1つは、象限を確認せずに $\theta = \tan^{-1}(y/x)$ を使うことです。すると、$r$ が正しくても向きが間違うことがあります。

また、ラジアンと度を混同することもよくあります。グラフは問題で使う単位に依存するので、どちらを使うかを一貫させてください。

最後のミスは、負の $r$ の意味を忘れることです。これは「無効」という意味ではありません。与えられた角度とは反対方向に進むという意味です。原点では逆のミスが起こります。そこでは1つの角を無理に決めようとしがちですが、実際には1つに定まりません。

極座標が役立つ場面

極座標は、問題に放射対称性や角運動があるときに特に役立ちます。代表例としては、原点中心の円、らせん状の曲線、軌道運動のモデル、中心点からの距離に依存する場や波などがあります。

また、微積分や物理でも便利です。距離と角度が自然な変数になると、積分や方程式がより簡単になることがあります。

似た変換を試してみよう

今度は $r = 4\sin\theta$ で自分でやってみましょう。これをデカルト形式に変換し、どんなグラフになるかを確かめてください。円になったなら、少し向きが違うだけで同じ変換パターンを見抜けています。