一次方程式は、変化の割合が一定である関係を表します。1つの変数の場合、 のもとで の形で表されることが多く、式を成り立たせる値を求めます。2つの変数の場合は、グラフ上で直線を表します。
大事な考え方は、変化が一定であることです。 が同じだけ変化すると、 もいつも同じだけ変化するなら、その関係は一次です。だから一次方程式は、時給、一定の速さ、初期値に毎回同じ変化が加わるような場面に現れます。
一次方程式が一次である条件
方程式が一次であるのは、すべての変数の項が1次である場合です。つまり、 のような2乗はなく、初歩の代数では のような積もなく、変数が分母にあってもいけません。
たとえば、次は一次方程式です。
次は一次方程式ではありません。
よくある2つの場合：解くこととグラフにすること
1変数の問題では、ふつう未知の数を求めることが目標です。 では、式を成り立たせる の値を求めます。
2変数の問題では、関係を理解することが目標になることが多いです。 では、 が変わると がどう変わるかを式が教えてくれ、そのグラフは直線になります。
例題： を解く
まず、 のまわりにある計算を逆の順番で打ち消していきます。
両辺に を足します。
すると、
次に、両辺を で割ります。
元の式に代入して答えを確かめます。
確かめが合うので、 が正しいとわかります。これが一次方程式を解く基本です。変数を1つだけにして、最後に元の式で確かめます。
グラフが直線になる理由
のような2変数の一次方程式では、 の変化が一定です。 が 増えると、 は毎回 増えます。変化の割合が一定なら、グラフは曲線ではなく直線になります。
変化の割合が一定でなければ、グラフはふつう直線にはなりません。たとえば、 は が大きくなるにつれて の増え方も大きくなるので、上向きに曲がります。
一次方程式を解くときのよくある間違い
よくある間違いの1つは、 と の両方が入っていれば何でも一次方程式だと思ってしまうことです。これは、変数がすべて1次のままで、関係が一定の変化をもつ場合にしか当てはまりません。
もう1つの間違いは、解く途中で片方の辺にだけ計算をすることです。左辺に足す、引く、かける、割るをしたなら、式のつり合いを保つために右辺にも同じことをしなければなりません。
3つ目の間違いは、条件を確かめずに係数で割ることです。 では、割って解くには であることが前提です。もし なら、その式はもはや1変数の標準的な一次方程式ではありません。
一次方程式が使われる場面
一次方程式は、ある量が一定の割合で変化する場面ならどこでも現れます。予算計画、道のりと時間の問題、単価の計算、簡単な物理モデルなどで見られます。
一次方程式は、解きやすく、グラフにも表しやすく、意味も読み取りやすいので、最初に学ぶ便利なモデルであることが多いです。限られた範囲では、もっと複雑なデータでも直線で近似されることがよくあります。
似た問題に挑戦してみよう
を解き、代入して答えを確かめてみましょう。別の例を考えたいなら、 を に書き直し、 が 増えると がどうなるか説明してみてください。