一次方程式のグラフのかき方

一次方程式をグラフにするには、その式を満たす点が必要です。最も速い方法は、式を $y = mx + b$ の形に直し、y切片 $(0, b)$ を打ってから、傾き $m$ を使ってもう1点を求めることです。

式を簡単に書き換えられない場合でも、2つの $x$ の値を選び、それに対応する $y$ の値を求めて点を打てばグラフにできます。どちらの方法でも、関係が本当に一次であれば、グラフは直線になります。

多くの一次方程式を最も速くグラフにする方法

式を

$$y = mx + b$$

の形に直せるなら、すぐに次の2つの大事な情報が読み取れます。

• $b$ は y切片なので、直線は $(0, b)$ を通ります。
• $m$ は傾きで、ある点から次の点へどう動くかを表します。

たとえば、$m = 2$ なら $\frac{2}{1}$ と読めるので、右に $1$、上に $2$ 進みます。$m = -\frac{3}{2}$ なら、右に $2$、下に $3$ 進みます。

この方法は、垂直な直線以外ならどれにも使えます。垂直な直線は $x = c$ の形なので、グラフは x軸と $(c, 0)$ で交わる縦の直線です。

例題：$2x + y = 5$ をグラフにする

まず、$y$ が1つだけになるように式を書き換えます。

$$2x + y = 5$$ $$y = -2x + 5$$

これで y切片がすぐにわかります。$b = 5$ なので、$(0, 5)$ を打ちます。

傾きは $m = -2$ で、これは $-\frac{2}{1}$ と読めます。$(0, 5)$ から右に $1$、下に $2$ 動くと、次の点は

$$(1, 3)$$

になります。

同じ動きをもう一度すると、さらに別の点として

$$(2, 1)$$

が得られます。

あとは、それらの点を通る直線を引きます。

最後に、簡単に確認してみましょう。元の式に $x = 1$ を代入すると、

$$2(1) + y = 5$$

なので、

$$y = 3$$

となります。これは点 $(1, 3)$ と一致するので、グラフは式と合っています。

式が $y = mx + b$ の形でないときは？

一次方程式は、2点を求めればいつでもグラフにできます。

たとえば $x + y = 4$ を考えます。$x = 0$ なら $y = 4$ なので、1つ目の点は $(0, 4)$ です。$x = 4$ なら $y = 0$ なので、もう1つの点は $(4, 0)$ です。この2点を打って直線を引けば完成です。

この2点を使う方法は、傾きと切片を直接読む方法より少し遅いですが、確実です。特に、$Ax + By = C$ のような標準形の式では便利です。

一次方程式をグラフにするときのよくあるミス

よくあるミスの1つは、y切片を間違った場所に打つことです。y切片は $x = 0$ のときの点なので、必ず y軸上になければなりません。

もう1つのミスは、傾きを逆に読んでしまうことです。傾きが $-\frac{2}{3}$ なら、右に $3$、下に $2$ であって、右に $2$、下に $3$ ではありません。

3つ目のミスは、1点だけ打って直線を引いてしまうことです。1点だけでは直線は決まりません。少なくとも異なる2点が必要です。

また、式を書き換える途中で計算ミスをしやすい点にも注意が必要です。形を変えたら、書き換えた式だけでなく、元の式でも打った点を1つ確認しましょう。

この技能が使われる場面

一次方程式のグラフ化は、代数、座標幾何、そして一定の変化を扱うあらゆる分野の基本です。速さの問題、予算計算、一定の変化をする物理の式、限られた範囲で直線で表せるデータなどでよく出てきます。

大事なのは実用性です。式とグラフを行き来できるようになると、記号だけでなく、その関係を目で見て理解できるようになります。

自分でもやってみよう

$y = \frac{1}{2}x - 3$ を自分でグラフにしてみましょう。まず切片を打ち、傾きを使って2つ目の点を求め、そのあと式に1点を代入して確認します。

もう一歩進めたいなら、まず手で概形をかいてから、宿題の自分の問題を数式ソルバーで試してみましょう。自分のグラフと解かれた直線を比べると、符号ミスや傾きの読み違いに気づきやすくなります。