代数方程式 — 種類と解き方

代数方程式とは、2つの代数式が等しいことを表す式です。これを解くとは、その等式を成り立たせる値を求めることです。

最初に役立つのは、方程式の種類を見分けることです。一次方程式、二次方程式、有理方程式では解き方が同じではないため、式の形から次に何を試すべきかがわかります。

代数方程式とは

簡単な例は次のとおりです。

$$2x + 3 = 11.$$

$x = 4$ のとき、左右の値が一致するので、$x = 4$ は解です。

より一般には、代数方程式は変数、数、そして加法・減法・乗法・除法・累乗のような演算から作られます。許される解は数の体系によって異なります。たとえば、実数解はなくても複素数解はある方程式もあります。

代数方程式の主な種類

一次方程式

一次方程式では、変数は1次の項としてだけ現れます。

$$3x - 5 = 10.$$

このタイプは、ふつう変数を片方にまとめて解きます。

二次方程式

二次方程式には、2乗の項が含まれます。

$$x^2 - 5x + 6 = 0.$$

実数の範囲では、二次方程式は2つの解、重解1つ、または実数解なしの場合があります。

有理方程式

有理方程式では、変数が分母に現れます。

$$\frac{x + 1}{x - 2} = 3.$$

このタイプでは、使えない値があるので特に注意が必要です。この例では、$x = 2$ は最初から除外しなければなりません。

無理方程式

無理方程式では、変数が根号の中に入っています。

$$\sqrt{x + 5} = x - 1.$$

このタイプでは両辺を2乗することがよくありますが、その結果、もとの方程式を満たさない解が生じることがあります。

解法の選び方

式の形を手がかりにしましょう。

• 一次方程式なら、変数を孤立させます。
• 二次方程式なら、きれいに因数分解できるときはそれが最も速いことが多いです。難しければ、平方完成や解の公式のほうが適しています。
• 有理方程式なら、まず定義できない値を確認し、そのあとで分母をていねいに払います。
• 無理方程式なら、2乗する前に根号を含む部分を孤立させ、その後で出た結果をすべてもとの方程式で確かめます。

基本の考え方はシンプルです。方程式の形に合った方法を選ぶことです。

例題：二次方程式を解く

次を解きます。

$$x^2 - 5x + 6 = 0.$$

これは二次方程式なので、まず因数分解できるかを確認します。積が $6$、和が $-5$ になる2つの数が必要です。その数は $-2$ と $-3$ なので、

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).$$

ここで零積の法則を使います。

$$(x - 2)(x - 3) = 0.$$

少なくとも一方の因数が0でなければなりません。

$$x - 2 = 0 \quad \text{or} \quad x - 3 = 0.$$

したがって、候補となる解は

$$x = 2 \quad \text{or} \quad x = 3.$$

両方をもとの方程式で確かめます。

$$2^2 - 5(2) + 6 = 0$$

および

$$3^2 - 5(3) + 6 = 0.$$

どちらも成り立つので、両方とも正しい解です。

代数方程式を解くときによくあるミス

よくあるミスの1つは、式の形に合わない方法を選ぶことです。方程式が二次式なのに一次方程式のように扱っても、たいていうまくいきません。

もう1つのミスは、制限を無視することです。有理方程式では、分母を0にする値は、計算の途中で出てきても必ず除かなければなりません。

3つ目のミスは無理方程式で起こります。両辺を2乗すると余分な解が生じることがあるため、最後にもとの方程式で確認する必要があります。

代数方程式が使われる場面

代数方程式は、記号で関係を表し、未知の値を求めたいときに現れます。学校の代数、図形の公式、金融の問題、そして多くの物理や工学のモデルがその例です。

どの場合でも大切な習慣は同じです。まず式の形を読み取り、そのあとで解くことです。

似た方程式に挑戦してみよう

$x^2 - 7x + 10 = 0$ を自分で解いてみましょう。まず種類を分類し、それに合う方法を選び、最後にそれぞれの解をもとの方程式で確かめます。別の例も見たいなら、この流れを簡単な一次方程式と比べて、方程式の種類によって戦略がどう変わるかを確認してみてください。