円錐曲線 — 円・楕円・放物線・双曲線

円錐曲線とは、円・楕円・放物線・双曲線のことです。幾何では、二重円錐を平面で切ることでできる曲線として表されます。代数では、方程式から図形の形、中心や頂点、そのほかの重要な特徴が分かるので大切です。

手早く確認したいなら、次の定義を使ってください。

• 円は、1つの中心からの距離がすべて等しい点の集まりです。
• 楕円は、2つの定点までの距離の和が一定である点の集まりです。
• 放物線は、1つの焦点と1本の準線からの距離が等しい点の集まりです。
• 双曲線は、2つの定点までの距離の差の絶対値が一定である点の集まりです。

円・楕円・放物線・双曲線が同じ仲間である理由

「conic」という語は cone（円錐）に由来します。二重円錐を平面がさまざまな角度で切ると、これらの異なる曲線が現れます。円は楕円の特別な場合なので、教科書によっては楕円の仲間として扱われることもあれば、別に並べて紹介されることもあります。

また、離心率 $e$ を使うと、焦点と準線による統一的な見方もできます。

• 円：$e = 0$ の特別な楕円
• 楕円：$0 < e < 1$
• 放物線：$e = 1$
• 双曲線：$e > 1$

基本問題を解くのに離心率が必須というわけではありません。ただ、4つの図形がバラバラの話題ではなく、1つのまとまりとして理解できるようになります。

方程式から円錐曲線を見分ける方法

初歩の座標幾何では、方程式を標準形に整理できれば、次の手がかりがよく使えます。

• 円：$x^2 + y^2 = 25$ のように、適切にそろえたあとで2つの二乗項の係数が同じになります。
• 楕円：$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ のように、標準形で2つの二乗項が同符号で、係数が異なる正の値になります。
• 放物線：$y = x^2$ や $x = y^2$ のように、標準的な向きでは片方の変数だけが二乗されています。
• 双曲線：$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ のように、2つの二乗項の符号が反対になります。

ただし、この見分け方は方程式をきちんと整理したあとでしか使えません。項が展開されていたり、グラフが平行移動していたりする場合は、まず同類項をまとめて平方完成をしましょう。

例題を1つ

次の曲線を分類します。

$$4x^2 + 9y^2 = 36$$

まず、両辺を $36$ で割ります。

$$\frac{4x^2}{36} + \frac{9y^2}{36} = 1$$

すると、

$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$$

となります。

これで形がはっきりしました。

• 2つの二乗項がある
• どちらも正の符号である
• 分母が異なる

したがって、これは円ではなく楕円です。中心は原点、横方向の半径は $3$、縦方向の半径は $2$ です。

これは円錐曲線の問題でよく使う基本の流れです。まず書き直し、そのあとで分類します。

それぞれの円錐曲線の意味

円

円は、ある中心から一定の距離にあるすべての点の集まりです。標準形

$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$

では、中心は $(h,k)$、半径は $r$ で、条件は $r \ge 0$ です。

楕円

楕円は、焦点と呼ばれる2つの定点までの距離の和が一定である点の集まりです。標準的な位置では、よく使う形は

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$

です。ここで $a > 0$、$b > 0$ です。見た目は引き伸ばされた円のようですが、大事なのは2つの焦点による定義です。

放物線

放物線は、1つの焦点と1本の準線から等距離にある点の集まりです。よく使う標準形は

$$(x-h)^2 = 4p(y-k)$$

で、横向きの形は

$$(y-k)^2 = 4p(x-h)$$

です。

値 $p$ は、焦点が頂点からどれだけ離れているか、またグラフがどちら向きに開くかを決めます。

双曲線

双曲線は、2つの焦点までの距離の差の絶対値が一定である点の集まりです。標準的な位置では、1つの形は

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$

です。

2つの枝と漸近線は、この距離の条件から生まれます。

円錐曲線でよくある間違い

すべての二次のグラフを放物線だと思ってしまう

放物線は円錐曲線の1種類にすぎません。$x^2$ と $y^2$ の両方が出てきたら、円・楕円・双曲線のどれなのかを立ち止まって確認する必要があります。

早い段階で分類してしまう

展開された方程式では、図形の形が見えにくいことがあります。たとえば円でも、平方完成するまでは円らしく見えないことがあります。分類は、書き直してから行うほうがずっと安全です。

円は楕円の特別な場合だということを忘れる

学校の問題では、円は簡単でよく出るので別に扱われることが多いです。それは便利ですが、幾何学的には円も円錐曲線の仲間です。

焦点に関する定義を混同する

楕円では距離の和を使います。双曲線では距離の差の絶対値を使います。放物線では、2つ目の焦点との距離ではなく、焦点までの距離と準線までの距離を比べます。

円錐曲線はどこで使われるか

円錐曲線は、距離の条件や二次方程式が関わる場面で現れます。円は基本的な図形や対称性でよく出てきます。楕円は理想化した軌道のモデルに現れます。放物線は、反射の幾何や、空気抵抗を無視したときの投射運動のモデルに現れます。双曲線は、距離や到達時刻の差に基づく航法や位置特定のモデルに現れます。

円錐を切る図を今後使わなくなったとしても、円錐曲線は重要です。方程式と図形を結びつけ、図形と幾何学的な条件を結びつける練習になるからです。

似た問題に挑戦してみよう

次の方程式を考えてみましょう。

$$x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0$$

これを分類する前に、平方完成して書き直してみてください。これは次の一歩としてとてもよい練習です。円錐曲線をずっと分かりやすくする大事な習慣、つまり「より見やすい形に直せるなら、生の方程式のままで推測しない」を使うことになるからです。