双曲線 - 方程式・漸近線・性質

双曲線は、2つの開いた枝をもつ曲線です。座標幾何では、標準方程式で一方の2乗項からもう一方の2乗項を引いていることが、双曲線を見分ける最も速い手がかりです。

中心が $(h, k)$ にあり、座標軸に平行な双曲線の代表的な標準形は次の2つです。

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

および

$$\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1$$

1つ目は左右に開きます。2つ目は上下に開きます。

手早く読むためのルールはこうです。中心は $(h, k)$ からわかり、正の項が開く向きを示し、漸近線が枝の近づいていく方向を示します。

双曲線とは何か

幾何学的には、双曲線は2つの定点、つまり焦点までの距離の差の絶対値が一定である点の集合として定義できます。

この定義から、グラフが1つの閉じた輪ではなく、2つの枝をもつ理由がわかります。ただし、代数やプレカルキュラスの多くの問題では、方程式から扱うことが多いです。そのほうがグラフの特徴をずっと速く読み取れるからです。

双曲線の方程式の読み方

方程式が

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

であれば、座標軸に平行な双曲線について次のことがわかります。

• 中心: $(h, k)$
• 開く向き: 左右
• 頂点: $(h \pm a, k)$
• 漸近線: $y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)$

方程式が

$$\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1$$

であれば、次のようになります。

• 中心: $(h, k)$
• 開く向き: 上下
• 頂点: $(h, k \pm a)$
• 漸近線: $y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)$

これらと同じ座標軸に平行な標準形では、焦点は頂点よりも中心から遠くにあり、その距離には

$$c^2 = a^2 + b^2$$

という関係があります。

これらの公式は、標準形で座標軸に平行な双曲線に対してのみ使ってください。方程式に余分な項がある場合や回転している場合は、このようにグラフを読む前にさらに処理が必要です。

漸近線が教えてくれること

漸近線は枝の向きを導く直線です。単なる付け足しの要素ではありません。グラフが遠くでどの方向へ伸びていくかを示しています。

中心の近くでは、曲線は漸近線から離れるように曲がります。中心から遠くなると、それぞれの枝は漸近線にどんどん近づいていきます。だからこそ、漸近線は双曲線を正確にスケッチするための最も速い手がかりの1つです。

例題: 方程式からグラフを読み取る

次を考えます。

$$\frac{(x - 2)^2}{16} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1$$

これは横向きの標準形なので、双曲線は左右に開きます。

中心は $(2, -1)$ です。これは $(x - 2)$ が右に $2$、$(y + 1)$ が下に $1$ の平行移動を表すからです。

分母から、

$$a^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad a = 4$$

また、

$$b^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad b = 3$$

したがって、頂点は

$$(2 \pm 4, -1)$$

となり、

$$(6, -1) \text{ and } (-2, -1)$$

を得ます。

漸近線の傾きは $\pm b/a = \pm 3/4$ で、中心を通るので、

$$y + 1 = \pm \frac{3}{4}(x - 2)$$

となります。

焦点も求めたいなら、$c^2 = a^2 + b^2$ を使います。

$$c^2 = 16 + 9 = 25 \quad \Rightarrow \quad c = 5$$

したがって、焦点は

$$(2 \pm 5, -1)$$

つまり $(7, -1)$ と $(-3, -1)$ です。

これでスケッチに必要な情報がそろいました。中心を打ち、頂点を記し、中心を通る漸近線を引き、その後でそれらの直線に近づきながら中心から離れていく2つの枝を描きます。

双曲線でよくある間違い

1. 標準形では双曲線が引き算になっていることを忘れること。2乗項が足し算なら、それは双曲線ではなく楕円です。
2. $a^2$ と $b^2$ を取り違えること。これらの標準形では、$a^2$ は正の項についています。
3. 漸近線の傾きを間違えること。横向きの双曲線では傾きは $\pm b/a$、縦向きでは $\pm a/b$ です。
4. 中心の符号を逆に読むこと。たとえば $(x + 2)^2$ なら、中心の $x$ 座標は $-2$ です。

双曲線はどこで使われるか

双曲線は、円錐曲線、解析幾何、座標を使ったモデリングでよく現れます。また、2つの定点までの距離の差が一定という条件で定義される問題にも登場します。

多くの学生にとって実用上大切なのは、もっとシンプルです。中心、開く向き、頂点、漸近線を見分けられれば、標準形のグラフを素早く描けて、試験でよくあるミスも避けやすくなります。

似た問題に挑戦してみよう

次をスケッチしてみましょう。

$$\frac{(y - 3)^2}{25} - \frac{(x + 1)^2}{4} = 1$$

まず中心を求め、枝が上下に開くのか左右に開くのかを判断します。次に頂点と漸近線を書いてみましょう。さらに一歩進みたいなら、別の円錐曲線も見て、双曲線が楕円とどう違うかを比べてみてください。