球の表面積の公式と例題

球の表面積とは、球の外側全体をおおう面の面積のことです。半径を $r$ とすると、公式は

$$A = 4\pi r^2$$

です。

問題で直径 $d$ が与えられている場合は、まず $r = d/2$ で半径に直します。同じ関係は次のようにも書けます。

$$A = \pi d^2$$

これは $4\pi (d/2)^2 = \pi d^2$ だからです。

半径がわかっているときは $4\pi r^2$ を使います。$\pi d^2$ を使うのは、その値が直径 $d$ だとはっきりしている場合だけです。

表面積の公式の意味

表面積は長さではなく、どれだけの面をおおうかを表すので、単位は平方単位になります。半径がセンチメートルなら、答えの単位は $\text{cm}^2$ です。

$r^2$ の部分は、面積が半径の2乗に比例して大きくなることを意味します。半径が2倍になると、表面積は4倍になります。

$4\pi$ という係数は球に特有のものです。比較として便利なのは、球の表面積は同じ半径をもつ円の面積の4倍だということです。半径 $r$ の円の面積は $\pi r^2$ だからです。

例題：半径 $5$ cm の球の表面積

半径が $5\text{ cm}$ の球を考えます。まず公式を書きます。

$$A = 4\pi r^2$$

ここに $r = 5$ を代入します。

$$A = 4\pi(5^2)$$

半径を2乗して整理すると、

$$A = 4\pi(25) = 100\pi \text{ cm}^2$$

となります。

したがって、正確な表面積は $100\pi \text{ cm}^2$ です。

小数で近似したいときは、$\pi \approx 3.14$ を使います。

$$A \approx 314 \text{ cm}^2$$

通常はこれで十分です。問題が $\pi$ を含む形を求めているなら正確な形で、近似値を求めているなら小数で答えます。

問題で直径が与えられる場合

直径が $8\text{ m}$ なら、半径は $4\text{ m}$ です。したがって、

$$A = 4\pi(4^2) = 64\pi \text{ m}^2$$

となります。

また、直径を使う同値な形をそのまま使ってもかまいません。

$$A = \pi d^2 = \pi(8^2) = 64\pi \text{ m}^2$$

どちらの方法でも同じ答えになります。大切なのは、最初の数値が半径なのか直径なのかを正しく見分けることです。

球の表面積でよくある間違い

最も多い間違いは、直径を半径としてそのまま使ってしまうことです。公式に $r$ とあるなら、それは半径を意味します。

もう1つのよくある間違いは、半径の2乗を忘れることです。$4\pi r^2$ ではなく $4\pi r$ としてしまうと、単位も値も間違ってしまいます。

最後の答えで平方単位を書き忘れる生徒もいます。表面積は $\text{cm}^2$、$\text{m}^2$、$\text{in}^2$ のような単位で表す必要があります。

問題が正確な値を求めているなら、結果に $\pi$ を残します。小数の近似値を求めるなら、特に指示がない限り最後にまとめて丸めます。

この公式を使う場面

球の表面積は、丸い物体の外側全体の面積を考えたいときに重要です。幾何の授業では、ふつう長さや面積を求める問題で使います。応用では、物体を球として十分に近似できるなら、コーティングの量、熱交換の面積、外側に露出した表面の見積もりにも同じ考え方が使われます。

ただし、この条件は大切です。実際の物体は完全な球であることはほとんどないので、この公式が正確に使えるのは、球としての近似が適切な場合に限られます。

似た問題に挑戦してみよう

半径 $9\text{ cm}$ の球の表面積を求めてみましょう。次に、直径 $18\text{ cm}$ から同じ問題をもう一度解き、どちらの方法でも同じ結果になることを確かめてください。