台形の面積の求め方 — 公式と手順

台形の面積は、次の公式で求めます。

$$A = \frac{1}{2}(b_1 + b_2)h$$

ここで、$b_1$ と $b_2$ は平行な2辺、$h$ はその間の垂直な高さです。与えられた辺が垂直ではなく斜めになっている場合、その長さはこの公式で使う高さではありません。

台形の面積の公式

同じ公式は、次のようにも書けます。

$$A = \left(\frac{b_1 + b_2}{2}\right)h$$

この形は大事な考え方を表しています。台形は、横の長さが平行な2辺の平均になった長方形のように考えられます。だから、底辺を足して $2$ で割り、そのあと高さを掛けるのです。

もし平行な2辺の長さが等しければ、台形は長方形になります。そのとき公式は次のようになります。

$$A = \frac{1}{2}(b + b)h = bh$$

これは、この公式が自然であることを確かめる簡単なチェックになります。

底辺が $8$ cm と $14$ cm の例題

平行な2辺が $8$ cm と $14$ cm、高さが $5$ cm の台形を考えます。

まず公式を書きます。

$$A = \frac{1}{2}(b_1 + b_2)h$$

値を代入します。

$$A = \frac{1}{2}(8 + 14)(5)$$

平行な2辺を足します。

$$A = \frac{1}{2}(22)(5)$$

掛け算して整理します。

$$A = 11 \cdot 5 = 55$$

したがって、面積は

$$55\ \text{cm}^2$$

です。

ここでは、すばやい確認もできます。$8$ と $14$ の平均は $11$ なので、この台形は横が $11$ cm、高さが $5$ cm の長方形と同じ面積になるはずです。実際に、それでも $55\ \text{cm}^2$ になります。

台形の面積を求めるときのよくあるミス

1. 平行でない辺を底辺の1つとして使ってしまう。
2. 垂直でない斜めの辺を高さとして使ってしまう。
3. $\frac{1}{2}$ を忘れてしまう。
4. 平行な2辺の両方を使わず、片方の底辺だけに高さを掛けてしまう。
5. 答えを平方単位ではなく、普通の単位で書いてしまう。

台形の面積を使う場面

この公式は、図形の授業、複合図形の問題、平面図、土地の測量図などで出てきます。また、四角形に平行な辺の組が1組あるときは、座標幾何の問題でも現れます。

応用問題では、正しい平行な2辺と、本当の垂直な高さを見つけることが大切です。そこを正しく選べれば、計算はたいてい素直に進みます。

似た問題に挑戦してみよう

平行な2辺が $6$ m と $10$ m、高さが $4$ m の場合で自分でも解いてみましょう。次に、高さだけを変えてもう一度解いてみてください。さらに試すなら、底辺が変わって高さが同じままのときに、何が変わるかを比べてみましょう。