円の面積の公式｜求め方・導出・例題

円の面積を求めるには、半径を二乗して $\pi$ を掛けます。

$$A = \pi r^2$$

この公式で使うのは直径ではなく半径です。問題で直径 $d$ が与えられている場合は、まず $r = d/2$ で半径に直します。同じ関係は次のようにも書けます。

$$A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$$

問題で正確な値を求めるなら、答えは $\pi$ を含む形のままにします。小数で求めるなら、$\pi \approx 3.14$ のような近似値を使います。

円の面積の公式の意味

$r^2$ は、面積が半径の二乗に比例して大きくなることを表しています。半径が2倍になると、面積は2倍ではなく4倍になります。

ここが最も大切なポイントです。円の面積は半径を二乗するので、変化が大きくなります。

なぜ円の面積は $A = \pi r^2$ なのか

よくある導出のしかたは、円を細い扇形にたくさん分け、それらを交互に並べ替える方法です。扇形を細かくするほど、並べ替えた形は長方形に近づきます。

このとき、その長方形の高さはおよそ $r$、底辺は円周の半分ほどになります。

$$\frac{1}{2}(2\pi r) = \pi r$$

したがって、面積は次の値に近づきます。

$$A = (\pi r)(r) = \pi r^2$$

この考え方を使うと、高度な幾何を使わなくても公式の意味を直感的に理解できます。扇形の数を増やすほど、並べ替えた形は本当の長方形により近づきます。

半径 $6$ cm の円の面積の例

半径が $6$ cm の円を考えます。まず公式に当てはめます。

$$A = \pi r^2 = \pi(6)^2 = 36\pi$$

したがって、正確な面積は $36\pi\ \text{cm}^2$ です。

小数の近似値が必要なら、次のようになります。

$$A \approx 36(3.14) = 113.04\ \text{cm}^2$$

問題に「$\pi$ を使って表しなさい」とあるときは正確な形を使います。小数の形は、近似値を求めるよう指示されたときだけ使います。

直径から円の面積を求める方法

直径が $12$ cm の場合、まず半径に直します。

$$r = \frac{12}{2} = 6$$

そのあとで、いつもの公式を使います。

$$A = \pi(6)^2 = 36\pi\ \text{cm}^2$$

ここは間違えやすいところです。$12$ をそのまま $A = \pi r^2$ に入れると、$36\pi$ ではなく $144\pi$ になってしまい、4倍も大きい答えになります。

円の面積でよくある間違い

1. 半径の代わりに直径をそのまま使ってしまう。
2. 半径を二乗し忘れる。
3. 答えを平方単位ではなく普通の単位で書いてしまう。
4. 問題が $\pi$ を使った正確な値を求めているのに、早い段階で丸めてしまう。
5. 面積と円周を混同する。面積は内側の広さ、円周はふちの長さを表します。

円の面積を使う場面

円の面積は、平らな面にある円形の部分の大きさを求めたいときに使います。たとえば、ピザ、丸いテーブルの天板、円形の花壇、パイプの断面などがよくある例です。

丸い面をおおう材料の量、円形の面に必要な塗料、または丸い境界の内側の広さを求める問題では、面積を考えるのがふつうです。

最後にすばやく確認すること

答えの大きさが妥当かどうかを考えてみましょう。半径 $10$ の円は、半径 $5$ の円よりずっと面積が大きいはずです。半径を2倍にすると、面積は $4$ 倍になるからです。

この簡単な確認で、半径と直径の取り違えによる多くのミスを防げます。

似た問題に挑戦してみよう

直径 $18$ cm の場合で自分でも解いてみましょう。まず半径に直し、そのあとで正確な面積を求め、必要なら最後に小数の近似値を出します。似た問題として、半径が $4$ cm から $8$ cm に変わるときの面積を比べ、なぜ面積が $2$ 倍ではなく $4$ 倍になるのかも確かめてみてください。