Distribuzione binomiale — Formula, condizioni ed esempio

La distribuzione binomiale ti dà la probabilità di ottenere esattamente $k$ successi in $n$ prove. Si usa solo quando ogni prova ha due esiti rispetto all’evento che ti interessa, le prove sono indipendenti e la probabilità di successo resta la stessa ogni volta.

Se anche una sola di queste condizioni non vale, i calcoli possono sembrare corretti mentre il modello è sbagliato.

Che cosa significa la distribuzione binomiale

Supponi di ripetere lo stesso tipo di prova $n$ volte. In ogni prova, etichetti un esito come successo e l’altro come insuccesso.

Se la probabilità di successo è $p$ in ogni prova, allora la variabile casuale $X$, cioè il numero di successi, può seguire una distribuzione binomiale.

Spesso si scrive così:

$$X \sim \text{Bin}(n,p)$$

Questa notazione significa:

• $n$ è il numero di prove
• $p$ è la probabilità di successo in ogni prova
• $X$ conta quanti successi si verificano

Questo è un modello di conteggio. Non chiede quale prova abbia avuto successo. Chiede quanti successi sono avvenuti in totale.

Formula della distribuzione binomiale

Per esattamente $k$ successi, la probabilità è

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

Ogni parte ha un ruolo:

• $\binom{n}{k}$ conta in quanti modi i $k$ successi possono essere disposti tra $n$ prove
• $p^k$ dà la probabilità di quei $k$ successi
• $(1-p)^{n-k}$ dà la probabilità dei restanti insuccessi

La formula vale per $k=0,1,2,\dots,n$.

Quando puoi usare la formula binomiale

Usa un modello binomiale solo quando tutte queste condizioni sono vere:

Numero fisso di prove

Sai in anticipo quante prove ci sono. Per esempio, lanciare una moneta $8$ volte soddisfa questa condizione.

Due esiti per prova

Per l’evento che stai osservando, ogni prova deve essere classificata come successo o insuccesso. Anche il lancio di un dado può andare bene se definisci il successo come qualcosa tipo “ottenere un $6$”.

Prove indipendenti

Una prova non deve cambiare la probabilità della successiva. Il campionamento con reinserimento può soddisfare questa condizione. Il campionamento senza reinserimento da un gruppo piccolo di solito no.

Probabilità di successo costante

Il valore di $p$ deve restare lo stesso da una prova all’altra. Se la probabilità cambia ogni volta, un semplice modello binomiale non è appropriato.

Esempio svolto: esattamente 3 teste in 5 lanci

Supponi che una moneta truccata dia testa con probabilità $0.6$. La lanci $5$ volte. Qual è la probabilità di ottenere esattamente $3$ teste?

Considera testa come evento di successo. Allora

$$n=5,\quad p=0.6,\quad k=3$$

Usa la formula:

$$P(X=3)=\binom{5}{3}(0.6)^3(0.4)^2$$

Ora calcola ogni parte:

$$\binom{5}{3}=10,\quad (0.6)^3=0.216,\quad (0.4)^2=0.16$$

Quindi

$$P(X=3)=10(0.216)(0.16)=0.3456$$

La probabilità di ottenere esattamente $3$ teste è $0.3456$, cioè $34.56\%$.

Perché qui il modello binomiale è valido? L’esperimento ha un valore fisso di $n$, due esiti per ogni lancio, prove indipendenti e la stessa probabilità $p=0.6$ a ogni lancio.

Una scorciatoia veloce per “almeno uno”

Per domande come “almeno un successo”, il complementare è spesso più veloce che sommare molti termini.

Per esempio, se $X \sim \text{Bin}(5,0.6)$, allora

$$P(X \ge 1)=1-P(X=0)=1-(0.4)^5$$

Questo funziona perché “almeno un successo” è il complementare di “zero successi”.

Errori comuni nei problemi sulla distribuzione binomiale

Ignorare le condizioni

Un errore comune è usare la formula binomiale quando le prove non sono indipendenti. Un esempio classico è estrarre elementi senza reinserimento da un insieme piccolo e continuare a fingere che $p$ non cambi mai.

Interpretare male il significato di “successo”

In un problema binomiale, successo non deve per forza significare qualcosa di positivo. Significa solo l’esito che hai scelto di contare.

Confondere “esattamente”, “almeno” e “al massimo”

Queste espressioni portano a calcoli diversi anche nello stesso esperimento. “Esattamente $3$” significa un solo termine, “almeno $3$” significa più termini e “al massimo $3$” significa una somma diversa.

Quando si usa la distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale compare quando conti esiti ripetuti del tipo sì/no, come difettoso contro non difettoso, promosso contro bocciato, clic contro nessun clic, oppure testa contro croce.

È utile nel controllo qualità, nel campionamento statistico sotto le ipotesi corrette, nei problemi di affidabilità e nei modelli di probabilità di base in statistica.

Prova un esercizio simile

Prova una tua versione con $8$ lanci di una moneta in cui $p=0.4$. Prima trova $P(X=2)$, poi trova $P(X \ge 1)$ usando il complementare. Se vuoi un altro caso, confronta che cosa cambia quando le prove non sono più indipendenti.