Probabilità — basi e formule

La probabilità indica quanto è probabile che si verifichi un evento. Nei problemi di base, di solito si esprime su una scala da $0$ a $1$, dove $0$ significa impossibile e $1$ significa certo.

Quando gli esiti sono equiprobabili, la formula base della probabilità è:

$$P(A) = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$$

Questa condizione è importante. Questo rapporto funziona in casi come un dado equo o un mazzo ben mescolato. Non vale automaticamente quando alcuni esiti sono più probabili di altri.

Definizione di probabilità: esiti ed eventi

Un esito è un possibile risultato. Un evento è un insieme di esiti che ci interessa.

Per esempio, quando lanci un dado equo, ottenere un $4$ è un esito. Ottenere un numero pari è un evento perché include $2$, $4$ e $6$.

Se il dado è equo, la probabilità di ottenere un numero pari è:

$$P(\text{even}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Questo significa che l'evento si verifica metà delle volte nel modello ideale di dado equo. La probabilità è un modo preciso per descrivere l'incertezza, non solo una formula da memorizzare.

Formule di probabilità di base da conoscere

Formula base per esiti equiprobabili

Usa

$$P(A) = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$$

solo quando ogni esito è ugualmente probabile.

Regola del complementare

A volte è più facile trovare la probabilità che un evento non si verifichi:

$$P(A^c) = 1 - P(A)$$

Questa regola è particolarmente utile per espressioni come "almeno uno" oppure "non".

Regola dell'addizione

Per trovare la probabilità che si verifichi $A$ oppure $B$, usa:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Si sottrae la parte in comune perché gli esiti presenti in entrambi gli eventi altrimenti verrebbero contati due volte.

Se gli eventi sono mutuamente esclusivi, allora $P(A \cap B) = 0$, quindi la regola diventa:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Regola della moltiplicazione

Per eventi indipendenti:

$$P(A \cap B) = P(A)P(B)$$

Se il secondo evento dipende dal primo, bisogna invece usare la probabilità condizionata:

$$P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A)$$

La condizione è la parte importante. Non moltiplicare automaticamente a meno che l'indipendenza non sia giustificata.

Esempio svolto: probabilità di ottenere almeno un $6$ in due lanci

Supponiamo di lanciare un dado equo due volte. Qual è la probabilità di ottenere almeno un $6$?

Questo è un buon caso in cui usare la regola del complementare. Invece di contare tutti i casi con un $6$, troviamo prima la probabilità di non ottenere alcun $6$.

In un lancio:

$$P(\text{no }6) = \frac{5}{6}$$

Poiché i due lanci sono indipendenti, la probabilità di non ottenere $6$ in nessuno dei due lanci è:

$$P(\text{no }6\text{ on both rolls}) = \frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6} = \frac{25}{36}$$

Ora usiamo il complementare:

$$P(\text{at least one }6) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$

Quindi la probabilità di ottenere almeno un $6$ in due lanci è:

$$\frac{11}{36}$$

Questo esempio mostra insieme due idee chiave: l'indipendenza permette di moltiplicare, e i problemi con "almeno uno" spesso si risolvono più facilmente tramite il complementare.

Errori comuni sulla probabilità

Un errore comune è usare la formula del rapporto quando gli esiti non sono equiprobabili. La formula $P(A) = \frac{\text{favorable}}{\text{total}}$ funziona solo quando ogni esito ha la stessa probabilità.

Un altro errore è sommare le probabilità di eventi che si sovrappongono senza sottrarre la parte comune. Se un esito appartiene a entrambi gli eventi, la semplice somma dà un valore troppo grande.

Gli studenti confondono anche "e" con "o". In probabilità, "e" indica di solito un'intersezione come $A \cap B$, mentre "o" indica un'unione come $A \cup B$.

Un ultimo errore è moltiplicare eventi che non sono indipendenti. Se un risultato cambia la probabilità del successivo, serve un passaggio di probabilità condizionata.

Quando si usano le formule di probabilità

La probabilità si usa ovunque si ragioni in condizioni di incertezza. Previsioni del tempo, test medici, assicurazioni, controllo qualità, sondaggi e giochi si basano tutti su di essa.

Il modello esatto dipende dalla situazione. Alcuni problemi usano esiti equiprobabili, mentre altri usano dati, ipotesi o frequenze osservate. Le formule restano utili, ma solo quando le loro condizioni corrispondono al problema.

Prova un problema simile di probabilità

Prova a estrarre una carta da un mazzo standard e a trovare la probabilità di pescare un cuore. Poi cambia la domanda in "un cuore o un re" e decidi se devi usare la regola dell'addizione.

Se vuoi controllare un'impostazione simile dopo averci provato da solo, inserisci una tua versione in un risolutore matematico e confronta prima le definizioni degli eventi, poi il risultato finale.