Funzione di trasferimento

Una funzione di trasferimento è la relazione nel dominio di Laplace che collega l’ingresso di un sistema lineare tempo-invariante alla sua uscita. Con condizioni iniziali nulle, si definisce come

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$

dove $X(s)$ è l’ingresso trasformato e $Y(s)$ è l’uscita trasformata. In parole semplici, ti dice con quale intensità il sistema risponde a ingressi diversi senza dover risolvere ogni volta da zero l’intera equazione differenziale.

Non significa semplicemente "uscita divisa per ingresso" in qualunque situazione. La definizione vale solo in condizioni specifiche, e queste condizioni sono importanti.

Cosa Ti Dice Una Funzione Di Trasferimento

La funzione di trasferimento racchiude il comportamento di un sistema in un’unica espressione. Una volta nota $H(s)$, spesso puoi capire subito se il sistema amplifica, attenua, ritarda o filtra alcune parti dell’ingresso.

Per problemi in regime sinusoidale stazionario, la si valuta sull’asse immaginario come $H(i\omega)$. Questo fornisce due informazioni pratiche:

• il modulo, che indica di quanto un ingresso sinusoidale alla pulsazione $\omega$ viene amplificato o attenuato
• la fase, che indica di quanto l’uscita è sfasata rispetto all’ingresso

Per questo le funzioni di trasferimento compaiono nei circuiti, nelle vibrazioni, nel filtraggio e nel controllo.

Quando $H(s) = Y(s)/X(s)$ È Valida

La formula usuale presuppone che il sistema sia lineare e tempo-invariante. Se la linearità non vale, gli ingressi non si combinano più secondo il normale principio di sovrapposizione. Se l’invarianza nel tempo non vale, il sistema può comportarsi in modo diverso in istanti diversi, quindi una singola funzione di trasferimento fissa non basta.

Anche le condizioni iniziali nulle sono importanti. L’energia immagazzinata in un condensatore, in un induttore o in un oscillatore meccanico modifica l’uscita reale, ma quel contributo aggiuntivo non fa parte della funzione di trasferimento in sé. La funzione di trasferimento descrive la legge ingresso-uscita intrinseca del sistema nel caso standard di condizioni iniziali nulle.

Esempio Svolto: Filtro RC Passa-Basso

Considera un resistore $R$ in serie con un condensatore $C$, e misura l’uscita ai capi del condensatore. Nel dominio di Laplace, l’impedenza del condensatore è $1/(sC)$, quindi la regola del partitore di tensione dà

$$H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}} = \frac{1}{1 + sRC}$$

Questa è una funzione di trasferimento passa-basso. Le basse frequenze passano più facilmente di quelle alte, perciò l’uscita appare come una versione smussata dell’ingresso.

Scegli un caso concreto:

$$R = 1000\ \Omega, \qquad C = 1\ \mu\mathrm{F}$$

Allora

$$RC = 10^{-3}\ \mathrm{s}$$

quindi la funzione di trasferimento diventa

$$H(s) = \frac{1}{1 + 0.001s}$$

La pulsazione di taglio è

$$\omega_c = \frac{1}{RC} = 1000\ \mathrm{rad/s}$$

che corrisponde a

$$f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} \approx 159\ \mathrm{Hz}$$

Alla frequenza di taglio,

$$\left|H(i\omega_c)\right| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$$

Quindi l’ampiezza dell’uscita è circa il $70.7\%$ dell’ampiezza dell’ingresso a quella frequenza. Già questo numero dice qualcosa di utile: il circuito inizia ad attenuare in modo evidente i segnali intorno a $159\ \mathrm{Hz}$ e oltre.

Per verificare rapidamente l’intuizione, se $\omega \ll 1000\ \mathrm{rad/s}$, allora $|H(i\omega)|$ è vicino a $1$, quindi l’uscita ha quasi la stessa ampiezza dell’ingresso. Se $\omega \gg 1000\ \mathrm{rad/s}$, il modulo diventa piccolo, quindi le oscillazioni rapide vengono fortemente ridotte.

Errori Comuni Sulla Funzione Di Trasferimento

• Usare il termine per sistemi che non vengono modellati come lineari e tempo-invarianti.
• Dimenticare di definire quale variabile è l’ingresso e quale è l’uscita.
• Trattare la funzione di trasferimento come se includesse già condizioni iniziali arbitrarie.
• Confondere la funzione di trasferimento generale nel dominio di Laplace $H(s)$ con la risposta in frequenza $H(i\omega)$.
• Leggere solo il modulo e ignorare lo sfasamento quando la fase è fisicamente importante.

Dove Si Usano Le Funzioni Di Trasferimento

Le funzioni di trasferimento sono utili ogni volta che un sistema può essere modellato con equazioni differenziali lineari e ti interessa capire come gli ingressi si propagano alle uscite. Esempi comuni sono i circuiti RC e RLC, gli oscillatori meccanici smorzati, i sistemi in retroazione e i modelli semplici di sensori.

In fisica, sono particolarmente utili quando la domanda principale non riguarda l’intera evoluzione temporale, ma il modo in cui il sistema risponde a forzamento, filtraggio o oscillazione alle diverse frequenze.

Prova Una Funzione Di Trasferimento Simile

Prova lo stesso circuito RC, ma misura l’uscita ai capi del resistore invece che del condensatore. Otterrai una funzione di trasferimento passa-alto, e questo confronto fissa bene un’idea chiave: cambiando l’uscita cambia anche la funzione di trasferimento.