Integral Ganda

Integral ganda menjumlahkan suatu fungsi pada sebuah daerah dua dimensi. Jika $f(x,y) \ge 0$, hasilnya adalah volume di bawah $z=f(x,y)$ di atas daerah tersebut. Jika $f$ berubah tanda, hasilnya adalah volume bertanda bersih.

Biasanya ditulis sebagai

$$\iint_R f(x,y)\,dA$$

dengan $R$ adalah daerah pada bidang $xy$ dan $dA$ adalah elemen luas yang sangat kecil. Dalam praktiknya, kebanyakan soal integral ganda tingkat awal berfokus pada dua hal: membaca daerah dengan benar dan memilih batas yang benar-benar sesuai dengan daerah itu.

Apa arti integral ganda

Ada tiga bagian yang perlu dibaca:

• $f(x,y)$ adalah fungsi yang dijumlahkan.
• $R$ adalah daerah tempat penjumlahan dilakukan.
• $dA$ berarti potongan luas yang sangat kecil.

Jadi $\iint_R f(x,y)\,dA$ berarti "jumlahkan nilai-nilai $f$ pada semua potongan luas kecil di $R$." Jika $f(x,y)=1$, hasilnya hanyalah luas daerah $R$. Ini adalah pemeriksaan yang berguna karena menunjukkan bahwa integral ganda mengukur akumulasi pada area, bukan hanya volume di bawah permukaan lengkung.

Mengapa integral ganda sering menjadi integral berulang

Dalam banyak soal kalkulus, integral ganda dihitung dengan mengubahnya menjadi dua integral tunggal. Pada daerah persegi panjang, dan lebih umum lagi di bawah syarat standar seperti kekontinuan pada daerah tersebut, kamu bisa mengintegralkan satu variabel pada satu waktu.

Untuk persegi panjang $R = [a,b] \times [c,d]$,

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$$

atau, jika lebih sederhana,

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.$$

Urutan integrasi penting untuk penyusunan dan kemudahan perhitungan. Dalam kondisi yang biasa dipakai di perkuliahan, kedua integral berulang itu merepresentasikan besaran yang sama, tetapi salah satu urutan sering jauh lebih mudah dihitung.

Untuk integral tunggal, kamu bisa membayangkan sebuah interval dipotong menjadi lebar-lebar kecil $dx$. Untuk integral ganda, sebuah daerah dipotong menjadi persegi panjang-persegi panjang kecil dengan luas $dA$.

Setiap persegi panjang kecil menyumbang kira-kira

$$f(x,y)\,dA.$$

Menjumlahkan semua kontribusi itu di seluruh daerah memberikan akumulasi total.

Contoh integral ganda pada persegi panjang

Tentukan

$$\iint_R (x+2y)\,dA$$

dengan

$$R = \{(x,y) : 0 \le x \le 2,\ 1 \le y \le 3\}.$$

Daerah ini adalah persegi panjang, jadi integral berulangnya mudah dituliskan:

$$\iint_R (x+2y)\,dA = \int_0^2 \int_1^3 (x+2y)\,dy\,dx.$$

Integralkan terhadap $y$ terlebih dahulu. Saat melakukan ini, anggap $x$ sebagai konstanta:

$$\int_1^3 (x+2y)\,dy = \left[xy + y^2\right]_1^3 = (3x+9)-(x+1) = 2x+8.$$

Sekarang integralkan ekspresi luar terhadap $x$:

$$\int_0^2 (2x+8)\,dx = \left[x^2+8x\right]_0^2 = 4+16 = 20.$$

Jadi

$$\iint_R (x+2y)\,dA = 20.$$

Hasil ini masuk akal karena $x+2y$ bernilai positif di seluruh $R$, sehingga akumulasi totalnya juga harus positif.

Apa yang berubah ketika daerahnya bukan persegi panjang

Jika daerahnya bukan persegi panjang, batas-batasnya sering bergantung pada variabel lain. Misalnya, kamu bisa melihat daerah yang dideskripsikan oleh kurva-kurva seperti

$$0 \le x \le 1, \quad x^2 \le y \le x+1.$$

Maka batas dalamnya tidak lagi berupa konstanta. Batas itu berubah terhadap $x$.

Inilah alasan mengapa membuat sketsa daerah itu penting. Dalam banyak jawaban siswa, aljabarnya benar tetapi daerahnya salah.

Kesalahan umum pada integral ganda

1. Menggunakan batas yang tidak sesuai dengan daerah yang dimaksud.
2. Lupa variabel mana yang diintegralkan terlebih dahulu. Pada $\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$, integral dalam adalah terhadap $y$.
3. Memperlakukan kedua variabel sebagai aktif pada langkah integral dalam. Variabel luar harus dianggap sebagai konstanta pada langkah itu.
4. Menganggap hasilnya selalu volume geometri meskipun fungsi bernilai negatif di beberapa tempat. Dalam kasus itu, integral ganda memberikan volume bertanda.
5. Mengubah urutan integrasi tanpa mengubah batas-batasnya dengan benar.

Di mana integral ganda digunakan

Integral ganda muncul ketika suatu besaran tersebar pada area, bukan sepanjang garis.

• Dalam geometri, integral ganda memberikan luas atau volume di bawah suatu permukaan.
• Dalam fisika, integral ganda dapat menjumlahkan massa pada suatu lamina ketika rapat massa bergantung pada posisi.
• Dalam probabilitas, integral ganda muncul pada distribusi gabungan kontinu dari dua variabel.
• Dalam teknik, integral ganda digunakan ketika suatu besaran berubah di sepanjang permukaan atau penampang.

Interpretasinya bergantung pada fungsinya. Jika integrannya adalah rapat massa, hasilnya adalah massa. Jika integrannya adalah tinggi, hasilnya adalah volume bertanda.

Coba soal serupa

Coba buat versimu sendiri dengan mengubah contoh menjadi

$$\iint_R (2x+y)\,dA$$

pada persegi panjang yang sama $0 \le x \le 2$, $1 \le y \le 3$. Lalu balik urutan integrasinya dan periksa bahwa nilainya tetap sama. Jika ingin melangkah sedikit lebih jauh, coba soal serupa pada daerah segitiga sehingga batas-batasnya bergantung pada variabel lain.