Koordinat Polar — Konversi, Grafik, & Persamaan

Koordinat polar menyatakan sebuah titik dengan jarak dan sudut, bukan posisi horizontal dan vertikal. Titik $(r,\theta)$ berarti "bergerak sejauh $r$ satuan dari titik asal pada sudut $\theta$ terhadap sumbu $x$ positif." Koordinat ini paling berguna saat grafik atau soal secara alami bergantung pada jarak dari titik asal atau rotasi di sekitarnya.

Untuk mengonversi antara koordinat polar dan Kartesius, gunakan

$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta$$

dan

$$r^2 = x^2 + y^2$$

Jika Anda perlu mencari sudut dari titik Kartesius, gunakan kuadran bersama dengan $\tan\theta = \frac{y}{x}$ saat $x \ne 0$. Syarat itu penting: nilai tangen yang sama muncul di lebih dari satu kuadran.

Arti $(r,\theta)$

Dalam koordinat Kartesius, $(3,4)$ berarti bergerak $3$ satuan sepanjang sumbu $x$ dan $4$ satuan sepanjang sumbu $y$. Dalam koordinat polar, $(5,\theta)$ berarti bergerak $5$ satuan dari titik asal lalu berputar sebesar $\theta$.

Sudut pandang ini lebih cocok untuk lingkaran, spiral, dan gerak mengelilingi pusat. Ini juga menjelaskan mengapa koordinat polar tidak tunggal: $(r,\theta)$ dan $(r,\theta + 2\pi)$ adalah titik yang sama, dan $(r,\theta)$ serta $(-r,\theta + \pi)$ juga merupakan titik yang sama.

Cara mengonversi koordinat polar dan Kartesius

Untuk berpindah dari polar ke Kartesius, substitusikan $r$ dan $\theta$ ke dalam

$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta$$

Untuk berpindah dari Kartesius ke polar, pertama cari jaraknya:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Lalu pilih sudut $\theta$ yang mengarah ke kuadran yang benar. Misalnya, titik $(-3,3)$ memiliki $\tan\theta = -1$, tetapi sudut yang benar berada di Kuadran II, jadi $\theta = \frac{3\pi}{4}$, bukan $-\frac{\pi}{4}$.

Ada satu kasus khusus: di titik asal, $r = 0$ dan sudutnya tidak tunggal. Sudut berapa pun akan jatuh pada titik yang sama.

Cara menggambar grafik persamaan polar

Persamaan polar memberi tahu bagaimana $r$ berubah saat $\theta$ berubah. Ini berbeda dari persamaan Kartesius, yang biasanya langsung menghubungkan $y$ dan $x$.

Karena itu, persamaan seperti $r = 2$, $r = 1 + \cos\theta$, dan $r = \theta$ terasa alami dalam bentuk polar. Persamaan-persamaan itu menyatakan jarak dari titik asal saat sudut berubah.

Contoh kerja: ubah $r = 2\cos\theta$ ke bentuk Kartesius

Contoh ini menunjukkan bagaimana persamaan polar bisa menyembunyikan grafik yang sebenarnya sudah familiar. Mulailah dengan

$$r = 2\cos\theta$$

Kalikan kedua ruas dengan $r$:

$$r^2 = 2r\cos\theta$$

Sekarang gunakan $r^2 = x^2 + y^2$ dan $r\cos\theta = x$:

$$x^2 + y^2 = 2x$$

Lengkapi kuadrat:

$$x^2 - 2x + y^2 = 0$$ $$(x - 1)^2 + y^2 = 1$$

Jadi grafiknya adalah lingkaran berpusat di $(1,0)$ dengan jari-jari $1$.

Ini juga menjelaskan bentuknya. Saat $\theta = 0$, $\cos\theta$ bernilai positif dan paling besar, jadi kurva memanjang ke kanan. Ketika $\cos\theta$ bernilai negatif, $r$ menjadi negatif, yang membalik titik sebesar $\pi$ dan tetap menelusuri lingkaran yang sama.

Kesalahan umum dalam koordinat polar

Salah satu kesalahan umum adalah menganggap setiap titik hanya punya satu bentuk polar. Padahal tidak, jadi dua jawaban bisa tampak berbeda tetapi tetap menyatakan titik yang sama.

Kesalahan lain adalah memakai $\theta = \tan^{-1}(y/x)$ tanpa memeriksa kuadrannya. Itu bisa memberi arah yang salah meskipun $r$ sudah benar.

Siswa juga sering mencampur radian dan derajat. Grafik bergantung pada satuan yang dipakai dalam soal, jadi pastikan pilihan itu konsisten.

Kesalahan terakhir adalah lupa arti $r$ negatif. Itu tidak berarti "tidak valid." Itu berarti bergerak ke arah yang berlawanan dari sudut yang diberikan. Di titik asal, kesalahan kebalikannya terjadi: siswa mencoba memaksakan satu sudut, padahal di sana tidak diperlukan satu sudut tunggal.

Kapan koordinat polar berguna

Koordinat polar sangat berguna ketika suatu soal memiliki simetri radial atau gerak sudut. Contoh umum meliputi lingkaran yang berpusat di titik asal, kurva berbentuk spiral, model gerak orbit, serta medan atau gelombang yang bergantung pada jarak dari titik pusat.

Koordinat ini juga berguna dalam kalkulus dan fisika karena beberapa integral dan persamaan menjadi lebih sederhana ketika jarak dan sudut adalah variabel alaminya.

Coba konversi serupa

Coba versi Anda sendiri dengan $r = 4\sin\theta$. Ubah ke bentuk Kartesius dan tentukan grafiknya. Jika Anda mendapatkan lingkaran, berarti Anda melihat pola konversi yang sama dalam arah yang sedikit berbeda.