Persamaan Linear

Persamaan linear menunjukkan hubungan dengan laju perubahan yang tetap. Dalam satu variabel, persamaan ini mencari nilai yang membuat suatu pernyataan benar, sering dalam bentuk $ax + b = c$ dengan $a \ne 0$. Dalam dua variabel, persamaan ini menggambarkan garis lurus pada grafik.

Gagasan utamanya adalah perubahan yang konstan. Jika perubahan yang sama pada $x$ selalu menghasilkan perubahan yang sama pada $y$, maka hubungan tersebut bersifat linear. Itulah sebabnya persamaan linear muncul pada upah per jam, kecepatan tetap, dan situasi apa pun yang memiliki nilai awal ditambah perubahan yang sama di setiap langkah.

Apa yang Membuat Persamaan Menjadi Linear

Sebuah persamaan bersifat linear jika setiap suku variabel berpangkat satu. Artinya, tidak ada kuadrat seperti $x^2$, tidak ada hasil kali seperti $xy$ dalam aljabar dasar, dan tidak ada variabel di penyebut.

Sebagai contoh, berikut ini adalah persamaan linear:

• $3x - 7 = 11$
• $y = 2x + 5$
• $4x + 3y = 12$

Berikut ini bukan persamaan linear:

• $x^2 + 1 = 0$
• $xy = 10$
• $y = \frac{1}{x}$

Dua Kasus Umum: Menyelesaikan dan Menggambar Grafik

Dalam soal satu variabel, tujuannya biasanya adalah mencari nilai yang belum diketahui. Pada $3x - 7 = 11$, Anda mencari nilai $x$ yang membuat persamaan itu benar.

Dalam soal dua variabel, tujuannya sering kali adalah memahami suatu hubungan. Pada $y = 2x + 5$, persamaan tersebut memberi tahu bagaimana $y$ berubah ketika $x$ berubah, dan grafiknya adalah sebuah garis.

Contoh Langkah demi Langkah: Selesaikan $3x - 7 = 11$

Mulailah dengan membatalkan operasi di sekitar $x$ dalam urutan terbalik.

Tambahkan $7$ ke kedua ruas:

$$3x - 7 + 7 = 11 + 7$$

sehingga

$$3x = 18$$

Sekarang bagi kedua ruas dengan $3$:

$$x = 6$$

Periksa jawabannya pada persamaan semula:

$$3(6) - 7 = 18 - 7 = 11$$

Pemeriksaannya benar, jadi $x = 6$ adalah jawaban yang tepat. Inilah langkah inti dalam menyelesaikan persamaan linear: pisahkan variabel, lalu verifikasi hasilnya pada persamaan semula.

Mengapa Grafiknya Berupa Garis Lurus

Untuk persamaan linear dua variabel seperti $y = 2x + 1$, perubahan pada $y$ tetap konstan. Jika $x$ naik sebesar $1$, maka $y$ naik sebesar $2$ setiap kali. Laju perubahan yang konstan menghasilkan garis lurus, bukan kurva.

Jika laju perubahannya tidak konstan, grafiknya biasanya bukan garis. Misalnya, $y = x^2$ melengkung ke atas karena perubahan pada $y$ menjadi semakin besar saat $x$ bertambah.

Kesalahan Umum Saat Menyelesaikan Persamaan Linear

Salah satu kesalahan umum adalah menganggap setiap persamaan yang memuat $x$ dan $y$ pasti linear. Itu hanya berlaku jika variabel tetap berpangkat satu dan hubungannya memiliki perubahan yang konstan.

Kesalahan lain adalah melakukan operasi hanya pada satu ruas saat menyelesaikan persamaan. Jika Anda menambah, mengurang, mengalikan, atau membagi di ruas kiri, Anda harus melakukan hal yang sama di ruas kanan agar persamaan tetap seimbang.

Kesalahan ketiga adalah membagi dengan koefisien tanpa memeriksa syaratnya. Pada $ax + b = c$, penyelesaian dengan pembagian mengasumsikan $a \ne 0$. Jika $a = 0$, persamaan tersebut bukan lagi persamaan linear satu variabel yang standar.

Di Mana Persamaan Linear Digunakan

Persamaan linear muncul setiap kali suatu besaran berubah dengan laju tetap. Anda dapat menemukannya dalam anggaran, soal jarak dan waktu, harga satuan, dan model fisika sederhana.

Persamaan linear sering menjadi model pertama yang berguna karena mudah diselesaikan, mudah digambar grafiknya, dan mudah ditafsirkan. Dalam rentang terbatas, bahkan data yang lebih rumit pun sering didekati dengan sebuah garis.

Coba Soal Serupa

Cobalah menyelesaikan $5x + 4 = 19$ dan periksa jawaban Anda dengan substitusi. Jika Anda ingin mengeksplorasi kasus lain, ubah $y - 3 = 2x$ menjadi $y = 2x + 3$ lalu jelaskan apa yang terjadi pada $y$ ketika $x$ bertambah $1$.