Distribusi Binomial — Rumus, Syarat & Contoh

Distribusi binomial memberi tahu Anda peluang mendapatkan tepat $k$ keberhasilan dalam $n$ percobaan. Gunakan hanya ketika setiap percobaan memiliki dua hasil untuk kejadian yang Anda perhatikan, percobaan saling independen, dan peluang keberhasilan tetap sama setiap kali.

Jika salah satu syarat itu tidak terpenuhi, perhitungannya mungkin masih tampak benar, tetapi modelnya sendiri salah.

Apa arti distribusi binomial

Misalkan Anda mengulangi jenis percobaan yang sama sebanyak $n$ kali. Pada setiap percobaan, satu hasil diberi label berhasil dan yang lain gagal.

Jika peluang berhasil adalah $p$ pada setiap percobaan, maka peubah acak $X$, yaitu banyaknya keberhasilan, dapat mengikuti distribusi binomial.

Anda akan sering melihat ini ditulis sebagai

$$X \sim \text{Bin}(n,p)$$

Notasi ini berarti:

• $n$ adalah jumlah percobaan
• $p$ adalah peluang keberhasilan pada setiap percobaan
• $X$ menghitung berapa banyak keberhasilan yang terjadi

Ini adalah model pencacahan. Model ini tidak menanyakan percobaan mana yang berhasil. Model ini menanyakan berapa banyak keberhasilan yang terjadi secara total.

Rumus distribusi binomial

Untuk tepat $k$ keberhasilan, peluangnya adalah

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

Setiap bagian memiliki peran:

• $\binom{n}{k}$ menghitung banyaknya cara $k$ keberhasilan dapat disusun di antara $n$ percobaan
• $p^k$ memberikan peluang dari $k$ keberhasilan tersebut
• $(1-p)^{n-k}$ memberikan peluang dari sisa kegagalan

Rumus ini berlaku untuk $k=0,1,2,\dots,n$.

Kapan Anda bisa menggunakan rumus binomial

Gunakan model binomial hanya ketika semua syarat berikut benar:

Jumlah percobaan tetap

Anda sudah mengetahui sebelumnya berapa banyak percobaan yang ada. Misalnya, melempar koin $8$ kali memenuhi syarat ini.

Dua hasil pada setiap percobaan

Untuk kejadian yang Anda lacak, setiap percobaan harus dapat diklasifikasikan sebagai berhasil atau gagal. Lemparan dadu tetap bisa memenuhi syarat jika Anda mendefinisikan keberhasilan sebagai sesuatu seperti "muncul angka $6$."

Percobaan independen

Satu percobaan tidak boleh mengubah peluang pada percobaan berikutnya. Pengambilan sampel dengan pengembalian dapat memenuhi syarat ini. Pengambilan sampel tanpa pengembalian dari kelompok kecil biasanya tidak memenuhi syarat ini.

Peluang keberhasilan konstan

Nilai $p$ harus tetap sama dari satu percobaan ke percobaan berikutnya. Jika peluang berubah setiap kali, model binomial sederhana tidak cocok digunakan.

Contoh soal: tepat 3 sisi gambar dalam 5 kali lemparan

Misalkan sebuah koin bias menghasilkan sisi gambar dengan peluang $0.6$. Anda melemparkannya $5$ kali. Berapa peluang mendapatkan tepat $3$ sisi gambar?

Misalkan sisi gambar adalah kejadian berhasil. Maka

$$n=5,\quad p=0.6,\quad k=3$$

Gunakan rumus:

$$P(X=3)=\binom{5}{3}(0.6)^3(0.4)^2$$

Sekarang hitung setiap bagiannya:

$$\binom{5}{3}=10,\quad (0.6)^3=0.216,\quad (0.4)^2=0.16$$

Jadi

$$P(X=3)=10(0.216)(0.16)=0.3456$$

Peluang mendapatkan tepat $3$ sisi gambar adalah $0.3456$, atau $34.56\%$.

Mengapa model binomial valid di sini? Percobaan ini memiliki $n$ yang tetap, dua hasil pada setiap lemparan, percobaan yang independen, dan peluang yang sama $p=0.6$ pada setiap lemparan.

Cara cepat untuk "setidaknya satu"

Untuk pertanyaan seperti "setidaknya satu keberhasilan", komplemen sering lebih cepat daripada menjumlahkan banyak suku.

Misalnya, jika $X \sim \text{Bin}(5,0.6)$, maka

$$P(X \ge 1)=1-P(X=0)=1-(0.4)^5$$

Ini bekerja karena "setidaknya satu keberhasilan" adalah komplemen dari "tidak ada keberhasilan."

Kesalahan umum dalam soal distribusi binomial

Mengabaikan syarat-syaratnya

Kesalahan yang umum adalah menggunakan rumus binomial ketika percobaan tidak independen. Contoh klasiknya adalah mengambil item tanpa pengembalian dari himpunan kecil tetapi tetap menganggap bahwa $p$ tidak pernah berubah.

Salah memahami arti "keberhasilan"

Dalam soal binomial, keberhasilan tidak harus berarti sesuatu yang baik. Istilah itu hanya berarti hasil yang Anda pilih untuk dihitung.

Tertukar antara "tepat", "setidaknya", dan "paling banyak"

Frasa-frasa ini menghasilkan perhitungan yang berbeda bahkan dalam percobaan yang sama. "Tepat $3$" berarti satu suku, "setidaknya $3$" berarti beberapa suku, dan "paling banyak $3$" berarti jumlah yang berbeda.

Kapan distribusi binomial digunakan

Distribusi binomial muncul ketika Anda menghitung hasil berulang dengan pola ya-atau-tidak seperti cacat vs. tidak cacat, lulus vs. gagal, klik vs. tidak klik, atau gambar vs. angka pada koin.

Distribusi ini berguna dalam pengendalian mutu, pengambilan sampel survei dengan asumsi yang tepat, pertanyaan keandalan, dan model peluang dasar dalam statistika.

Coba soal serupa

Coba versi Anda sendiri dengan $8$ kali lemparan koin ketika $p=0.4$. Pertama cari $P(X=2)$, lalu cari $P(X \ge 1)$ dengan menggunakan komplemen. Jika Anda ingin kasus lain, bandingkan apa yang berubah ketika percobaan tidak lagi independen.