Peluang — Dasar dan Rumus

Peluang memberi tahu seberapa besar kemungkinan suatu kejadian terjadi. Dalam soal dasar, peluang biasanya ditulis pada skala dari $0$ sampai $1$, dengan $0$ berarti mustahil dan $1$ berarti pasti.

Ketika semua hasil sama mungkin terjadi, rumus dasar peluang adalah:

$$P(A) = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$$

Syarat itu penting. Rasio ini berlaku untuk kasus seperti dadu adil atau setumpuk kartu yang dikocok dengan baik. Rumus ini tidak otomatis berlaku ketika beberapa hasil lebih mungkin terjadi daripada yang lain.

Definisi Peluang: Hasil Dan Kejadian

Hasil adalah satu kemungkinan hasil. Kejadian adalah sekumpulan hasil yang menjadi perhatian Anda.

Sebagai contoh, ketika Anda melempar dadu adil, mendapatkan $4$ adalah satu hasil. Mendapatkan bilangan genap adalah sebuah kejadian karena mencakup $2$, $4$, dan $6$.

Jika dadu itu adil, peluang muncul bilangan genap adalah:

$$P(\text{even}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Artinya, kejadian itu terjadi setengah dari waktu dalam model ideal dadu adil. Peluang adalah cara yang tepat untuk menggambarkan ketidakpastian, bukan sekadar rumus untuk dihafal.

Rumus Dasar Peluang Yang Perlu Diketahui

Rumus Dasar Untuk Hasil Yang Sama Mungkin

Gunakan

$$P(A) = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$$

hanya ketika setiap hasil memiliki peluang yang sama.

Aturan Komplemen

Terkadang lebih mudah mencari peluang bahwa suatu kejadian tidak terjadi:

$$P(A^c) = 1 - P(A)$$

Ini sangat berguna untuk frasa seperti "setidaknya satu" atau "tidak."

Aturan Penjumlahan

Untuk mencari peluang bahwa $A$ atau $B$ terjadi, gunakan:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Irisannya dikurangkan karena hasil yang termasuk dalam kedua kejadian akan terhitung dua kali jika tidak dikurangi.

Jika kedua kejadian saling lepas, maka $P(A \cap B) = 0$, sehingga aturannya menjadi:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Aturan Perkalian

Untuk kejadian yang saling bebas:

$$P(A \cap B) = P(A)P(B)$$

Jika kejadian kedua bergantung pada kejadian pertama, gunakan peluang bersyarat:

$$P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A)$$

Syaratnya adalah bagian yang penting. Jangan langsung mengalikan kecuali sifat saling bebas memang dapat dibenarkan.

Contoh Soal: Peluang Mendapat Setidaknya Satu $6$ Dalam Dua Kali Lemparan

Misalkan Anda melempar dadu adil dua kali. Berapa peluang mendapatkan setidaknya satu $6$?

Ini adalah situasi yang tepat untuk menggunakan aturan komplemen. Daripada menghitung setiap kasus yang memuat $6$, cari dulu peluang tidak mendapatkan $6$ sama sekali.

Pada satu kali lemparan:

$$P(\text{no }6) = \frac{5}{6}$$

Karena kedua lemparan saling bebas, peluang tidak muncul $6$ pada kedua lemparan adalah:

$$P(\text{no }6\text{ on both rolls}) = \frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6} = \frac{25}{36}$$

Sekarang gunakan komplemen:

$$P(\text{at least one }6) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$

Jadi peluang mendapatkan setidaknya satu $6$ dalam dua kali lemparan adalah:

$$\frac{11}{36}$$

Contoh ini menunjukkan dua gagasan penting sekaligus: sifat saling bebas memungkinkan Anda mengalikan, dan soal "setidaknya satu" sering kali paling mudah diselesaikan melalui komplemen.

Kesalahan Umum Dalam Peluang

Salah satu kesalahan umum adalah menggunakan rumus rasio ketika hasil-hasilnya tidak sama mungkin. Rumus $P(A) = \frac{\text{favorable}}{\text{total}}$ hanya berlaku ketika setiap hasil memiliki peluang yang sama.

Kesalahan lain adalah menjumlahkan peluang untuk kejadian yang saling tumpang tindih tanpa mengurangkan bagian irisan. Jika satu hasil termasuk dalam kedua kejadian, penjumlahan biasa akan memberi nilai yang terlalu besar.

Siswa juga sering bingung membedakan "dan" dengan "atau." Dalam peluang, "dan" biasanya mengarah ke irisan seperti $A \cap B$, sedangkan "atau" mengarah ke gabungan seperti $A \cup B$.

Kesalahan terakhir adalah mengalikan kejadian yang tidak saling bebas. Jika satu hasil mengubah peluang hasil berikutnya, Anda memerlukan langkah peluang bersyarat.

Kapan Rumus Peluang Digunakan

Peluang digunakan di mana pun orang menalar tentang ketidakpastian. Prakiraan cuaca, tes medis, asuransi, pengendalian mutu, jajak pendapat, dan permainan semuanya bergantung pada peluang.

Model yang tepat bergantung pada situasinya. Beberapa soal menggunakan hasil yang sama mungkin, sedangkan yang lain menggunakan data, asumsi, atau frekuensi terukur. Rumus-rumus ini tetap membantu, tetapi hanya ketika syaratnya sesuai dengan soal.

Coba Soal Peluang Serupa

Cobalah mengambil satu kartu dari setumpuk kartu standar dan cari peluang mendapatkan kartu hati. Lalu ubah pertanyaannya menjadi "kartu hati atau raja" dan tentukan apakah Anda perlu menggunakan aturan penjumlahan.

Jika Anda ingin memeriksa susunan soal yang mirip setelah mencoba sendiri, buat versi Anda sendiri di pemecah soal matematika dan bandingkan definisi kejadiannya sebelum membandingkan hasil akhirnya.