Bilangan Prima — Daftar, Definisi & Cara Menentukannya

Bilangan prima adalah bilangan bulat lebih dari $1$ yang memiliki tepat dua pembagi positif: $1$ dan dirinya sendiri. Jadi $2, 3, 5,$ dan $7$ adalah bilangan prima, $1$ bukan bilangan prima, dan bilangan seperti $12$ adalah bilangan komposit.

Jika suatu bilangan bulat lebih dari $1$ memiliki lebih dari dua pembagi positif, bilangan itu disebut komposit. Misalnya, $12$ adalah komposit karena habis dibagi oleh $1, 2, 3, 4, 6,$ dan $12$.

Bilangan Prima Sampai 50

Berikut adalah bilangan prima sampai $50$:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47$$

Tidak ada pola selisih berulang yang sederhana. Misalnya, $11$ dan $13$ berdekatan, tetapi selisih berikutnya dari $23$ ke $29$ lebih besar.

Apa yang Membuat Suatu Bilangan Menjadi Prima?

Agar menjadi prima, suatu bilangan harus memenuhi kedua syarat berikut:

1. Bilangan tersebut harus lebih besar dari $1$.
2. Satu-satunya pembagi positifnya haruslah $1$ dan bilangan itu sendiri.

Itulah sebabnya $1$ bukan bilangan prima, dan juga mengapa $2$ adalah bilangan prima meskipun genap. Bilangan $2$ memiliki tepat dua pembagi positif: $1$ dan $2$.

Cara Menentukan Apakah Suatu Bilangan Prima

Untuk bilangan bulat $n > 1$, Anda dapat menguji apakah bilangan itu prima dengan memeriksa apakah ada bilangan bulat dari $2$ sampai $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ yang membaginya secara habis.

Alasannya bersifat praktis: jika $n = ab$, maka salah satu faktornya harus kurang dari atau sama dengan $\sqrt{n}$. Jadi jika tidak ada pembagi sampai Anda mencapai $\sqrt{n}$, tidak ada pasangan faktor yang lebih besar yang tersembunyi di atasnya.

Dalam praktik sehari-hari, orang biasanya memeriksa aturan habis dibagi kecil terlebih dahulu:

1. Jika $n$ genap dan lebih besar dari $2$, maka bilangan itu bukan prima.
2. Jika jumlah digitnya merupakan kelipatan $3$, maka $n$ habis dibagi $3$.
3. Jika $n$ berakhir dengan $0$ atau $5$ dan lebih besar dari $5$, maka $n$ habis dibagi $5$.

Jalan pintas itu tidak membuktikan dengan sendirinya bahwa suatu bilangan prima, tetapi membantu menyingkirkan banyak bilangan komposit dengan cepat.

Contoh Soal: Apakah $29$ Prima?

Untuk menguji $29$, pertama perhatikan bahwa

$$\sqrt{29} \approx 5.38$$

Jadi cukup memeriksa pembagi bilangan bulat sampai $5$.

• $29$ tidak habis dibagi $2$ karena bilangan itu ganjil.
• $29$ tidak habis dibagi $3$ karena $2 + 9 = 11$, dan $11$ bukan kelipatan $3$.
• $29$ tidak habis dibagi $5$ karena tidak berakhir dengan $0$ atau $5$.

Memeriksa $4$ tidak menambah apa pun di sini karena setiap kelipatan $4$ adalah genap, dan $29$ sudah dipastikan tidak habis dibagi $2$.

Tidak ada pembagi sampai $5$ yang berhasil, jadi $29$ adalah bilangan prima.

Kesalahan Umum tentang Bilangan Prima

Mengatakan bahwa $1$ adalah prima

Itu tidak benar. Definisinya mensyaratkan tepat dua pembagi positif, sedangkan $1$ hanya memiliki satu.

Mengira setiap bilangan ganjil adalah prima

Banyak bilangan ganjil bersifat komposit. Misalnya, $21$ adalah ganjil, tetapi

$$21 = 3 \times 7$$

jadi bilangan itu bukan prima.

Memeriksa terlalu jauh

Jika Anda hanya menguji keprimaan, Anda tidak perlu mencoba setiap bilangan yang lebih kecil dari $n$. Berhenti di $\sqrt{n}$ sudah cukup.

Di Mana Bilangan Prima Digunakan

Bilangan prima muncul dalam faktorisasi, keterbagian, soal faktor persekutuan terbesar, dan soal kelipatan persekutuan terkecil. Bilangan prima penting karena setiap bilangan bulat lebih dari $1$ dapat diuraikan menjadi faktor-faktor prima dengan cara yang unik hingga urutannya.

Bilangan prima juga muncul dalam aritmetika modular dan kriptografi. Dalam kriptografi, penggunaannya jauh lebih khusus, dan bilangan prima besar dipakai bersama aturan serta algoritma tambahan.

Coba Soal Serupa

Uji $47$ dan $51$ dengan metode akar kuadrat yang sama. Salah satunya prima dan salah satunya komposit, jadi ini cara cepat untuk memeriksa apakah aturan berhenti di $\sqrt{n}$ sudah masuk akal bagi Anda.