Números Primos — Lista, Definição e Como Identificá-los

Um número primo é um número inteiro maior que $1$ com exatamente dois divisores positivos: $1$ e ele mesmo. Assim, $2, 3, 5,$ e $7$ são primos, $1$ não é primo, e números como $12$ são compostos.

Se um número inteiro maior que $1$ tem mais de dois divisores positivos, ele é chamado de composto. Por exemplo, $12$ é composto porque é divisível por $1, 2, 3, 4, 6,$ e $12$.

Números Primos Até 50

Aqui estão os números primos até $50$:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47$$

Não existe um padrão simples e repetitivo nos intervalos entre eles. Por exemplo, $11$ e $13$ estão próximos, mas o próximo intervalo, de $23$ até $29$, é maior.

O Que Torna um Número Primo?

Para ser primo, um número precisa satisfazer as duas condições:

1. Ele deve ser maior que $1$.
2. Seus únicos divisores positivos devem ser $1$ e o próprio número.

É por isso que $1$ não é primo, e também por isso que $2$ é primo mesmo sendo par. O número $2$ tem exatamente dois divisores positivos: $1$ e $2$.

Como Saber Se um Número É Primo

Para um número inteiro $n > 1$, você pode testar se ele é primo verificando se algum número inteiro de $2$ até $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ o divide exatamente.

O motivo é prático: se $n = ab$, então um dos fatores deve ser menor ou igual a $\sqrt{n}$. Portanto, se nenhum divisor aparecer até chegar a $\sqrt{n}$, não existe um par de fatores maior “escondido” acima desse valor.

No dia a dia, as pessoas costumam verificar primeiro algumas regras simples de divisibilidade:

1. Se $n$ é par e maior que $2$, então não é primo.
2. Se a soma dos algarismos é múltipla de $3$, então $n$ é divisível por $3$.
3. Se $n$ termina em $0$ ou $5$ e é maior que $5$, então é divisível por $5$.

Esses atalhos não provam, sozinhos, que um número é primo, mas ajudam a eliminar muitos números compostos rapidamente.

Exemplo Resolvido: $29$ É Primo?

Para testar $29$, primeiro observe que

$$\sqrt{29} \approx 5.38$$

Então basta verificar divisores inteiros até $5$.

• $29$ não é divisível por $2$ porque é ímpar.
• $29$ não é divisível por $3$ porque $2 + 9 = 11$, e $11$ não é múltiplo de $3$.
• $29$ não é divisível por $5$ porque não termina em $0$ nem em $5$.

Verificar $4$ não acrescenta nada aqui, porque qualquer múltiplo de $4$ é par, e $29$ já não é divisível por $2$.

Nenhum divisor até $5$ funciona, então $29$ é primo.

Erros Comuns com Números Primos

Dizer que $1$ é primo

Não é. A definição exige exatamente dois divisores positivos, e $1$ tem apenas um.

Pensar que todo número ímpar é primo

Muitos números ímpares são compostos. Por exemplo, $21$ é ímpar, mas

$$21 = 3 \times 7$$

portanto, não é primo.

Verificar além do necessário

Se você está apenas testando se um número é primo, não precisa tentar todos os números menores que $n$. Parar em $\sqrt{n}$ já é suficiente.

Onde os Números Primos São Usados

Os números primos aparecem em fatoração, divisibilidade, problemas de máximo divisor comum e de mínimo múltiplo comum. Eles são importantes porque todo inteiro maior que $1$ pode ser decomposto em fatores primos de uma forma única, exceto pela ordem.

Eles também aparecem na aritmética modular e na criptografia. Na criptografia, o contexto é bem mais especializado, e números primos grandes são usados junto com regras e algoritmos adicionais.

Tente um Problema Parecido

Teste $47$ e $51$ com o mesmo método da raiz quadrada. Um é primo e o outro é composto, então esta é uma forma rápida de verificar se a regra de parar em $\sqrt{n}$ faz sentido para você.