Liczby pierwsze — lista, definicja i jak je rozpoznawać

Liczba pierwsza to liczba całkowita większa od $1$, która ma dokładnie dwa dodatnie dzielniki: $1$ i samą siebie. Dlatego $2, 3, 5$ i $7$ są pierwsze, $1$ nie jest liczbą pierwszą, a liczby takie jak $12$ są złożone.

Jeśli liczba całkowita większa od $1$ ma więcej niż dwa dodatnie dzielniki, nazywa się ją liczbą złożoną. Na przykład $12$ jest liczbą złożoną, ponieważ jest podzielna przez $1, 2, 3, 4, 6$ i $12$.

Liczby pierwsze do 50

Oto liczby pierwsze do $50$:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47$$

Nie ma tu prostego, powtarzającego się schematu odstępów. Na przykład $11$ i $13$ leżą blisko siebie, ale kolejna przerwa od $23$ do $29$ jest większa.

Co sprawia, że liczba jest pierwsza?

Aby liczba była pierwsza, musi spełniać oba warunki:

1. Musi być większa od $1$.
2. Jej jedynymi dodatnimi dzielnikami muszą być $1$ i ona sama.

Dlatego właśnie $1$ nie jest liczbą pierwszą, i dlatego też $2$ jest liczbą pierwszą, mimo że jest parzysta. Liczba $2$ ma dokładnie dwa dodatnie dzielniki: $1$ i $2$.

Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza

Dla liczby całkowitej $n > 1$ możesz sprawdzić, czy jest pierwsza, badając, czy jakakolwiek liczba całkowita od $2$ do $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ dzieli ją bez reszty.

Powód jest praktyczny: jeśli $n = ab$, to jeden z czynników musi być mniejszy lub równy $\sqrt{n}$. Jeśli więc do momentu dojścia do $\sqrt{n}$ nie pojawi się żaden dzielnik, to nie ma ukrytej pary większych czynników powyżej tej granicy.

W praktyce zwykle najpierw sprawdza się proste cechy podzielności:

1. Jeśli $n$ jest parzyste i większe od $2$, to nie jest pierwsze.
2. Jeśli suma cyfr jest wielokrotnością $3$, to $n$ jest podzielne przez $3$.
3. Jeśli $n$ kończy się na $0$ lub $5$ i jest większe od $5$, to jest podzielne przez $5$.

Te skróty same w sobie nie dowodzą, że liczba jest pierwsza, ale pomagają szybko wykluczyć wiele liczb złożonych.

Przykład: czy $29$ jest liczbą pierwszą?

Aby sprawdzić $29$, najpierw zauważmy, że

$$\sqrt{29} \approx 5.38$$

Wystarczy więc sprawdzić dzielniki całkowite do $5$.

• $29$ nie jest podzielne przez $2$, ponieważ jest nieparzyste.
• $29$ nie jest podzielne przez $3$, ponieważ $2 + 9 = 11$, a $11$ nie jest wielokrotnością $3$.
• $29$ nie jest podzielne przez $5$, ponieważ nie kończy się na $0$ ani $5$.

Sprawdzanie $4$ nic tu nie wnosi, ponieważ każda wielokrotność $4$ jest parzysta, a $29$ już nie jest podzielne przez $2$.

Żaden dzielnik do $5$ nie działa, więc $29$ jest liczbą pierwszą.

Częste błędy przy liczbach pierwszych

Mówienie, że $1$ jest liczbą pierwszą

Nie jest. Definicja wymaga dokładnie dwóch dodatnich dzielników, a $1$ ma tylko jeden.

Myślenie, że każda liczba nieparzysta jest pierwsza

Wiele liczb nieparzystych jest złożonych. Na przykład $21$ jest nieparzyste, ale

$$21 = 3 \times 7$$

więc nie jest pierwsze.

Sprawdzanie zbyt daleko

Jeśli sprawdzasz tylko, czy liczba jest pierwsza, nie musisz testować każdej liczby mniejszej od $n$. Wystarczy zatrzymać się na $\sqrt{n}$.

Gdzie wykorzystuje się liczby pierwsze

Liczby pierwsze pojawiają się przy rozkładzie na czynniki, podzielności, zadaniach z największym wspólnym dzielnikiem i najmniejszą wspólną wielokrotnością. Są ważne, ponieważ każdą liczbę całkowitą większą od $1$ można rozłożyć na czynniki pierwsze w sposób jednoznaczny z dokładnością do kolejności.

Pojawiają się też w arytmetyce modularnej i kryptografii. W kryptografii zastosowania są znacznie bardziej specjalistyczne, a duże liczby pierwsze wykorzystuje się razem z dodatkowymi regułami i algorytmami.

Spróbuj podobnego zadania

Sprawdź liczby $47$ i $51$ tą samą metodą z pierwiastkiem kwadratowym. Jedna jest pierwsza, a druga złożona, więc to szybki sposób, by przekonać się, czy zasada zatrzymywania się na $\sqrt{n}$ jest dla Ciebie zrozumiała.