Số nguyên tố — Danh sách, định nghĩa và cách tìm

Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn $1$ và có đúng hai ước dương: $1$ và chính nó. Vì vậy $2, 3, 5,$ và $7$ là số nguyên tố, $1$ không phải là số nguyên tố, còn các số như $12$ là hợp số.

Nếu một số nguyên lớn hơn $1$ có nhiều hơn hai ước dương, thì nó được gọi là hợp số. Ví dụ, $12$ là hợp số vì nó chia hết cho $1, 2, 3, 4, 6,$ và $12$.

Các số nguyên tố đến 50

Dưới đây là các số nguyên tố đến $50$:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47$$

Không có quy luật khoảng cách lặp lại đơn giản nào. Ví dụ, $11$ và $13$ khá gần nhau, nhưng khoảng cách tiếp theo từ $23$ đến $29$ lại lớn hơn.

Điều gì làm cho một số là số nguyên tố?

Để là số nguyên tố, một số phải thỏa mãn cả hai điều kiện:

1. Nó phải lớn hơn $1$.
2. Các ước dương duy nhất của nó phải là $1$ và chính nó.

Đó là lý do $1$ không phải là số nguyên tố, và cũng là lý do $2$ là số nguyên tố dù nó là số chẵn. Số $2$ có đúng hai ước dương: $1$ và $2$.

Cách nhận biết một số có phải là số nguyên tố hay không

Với một số nguyên $n > 1$, bạn có thể kiểm tra nó có phải là số nguyên tố hay không bằng cách xem có số nguyên nào từ $2$ đến $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ chia hết nó hay không.

Lý do rất thực tế: nếu $n = ab$, thì một trong hai thừa số phải nhỏ hơn hoặc bằng $\sqrt{n}$. Vì thế, nếu không xuất hiện ước nào khi bạn kiểm tra đến $\sqrt{n}$, thì sẽ không có cặp thừa số lớn hơn nào còn ẩn phía trên nữa.

Trong thực tế, người ta thường kiểm tra nhanh các dấu hiệu chia hết nhỏ trước:

1. Nếu $n$ là số chẵn và lớn hơn $2$, thì nó không phải là số nguyên tố.
2. Nếu tổng các chữ số là bội của $3$, thì $n$ chia hết cho $3$.
3. Nếu $n$ tận cùng bằng $0$ hoặc $5$ và lớn hơn $5$, thì nó chia hết cho $5$.

Những mẹo này tự chúng không chứng minh được một số là nguyên tố, nhưng chúng giúp loại nhanh nhiều hợp số.

Ví dụ có lời giải: $29$ có phải là số nguyên tố không?

Để kiểm tra $29$, trước hết lưu ý rằng

$$\sqrt{29} \approx 5.38$$

Vì vậy chỉ cần kiểm tra các ước nguyên đến $5$.

• $29$ không chia hết cho $2$ vì nó là số lẻ.
• $29$ không chia hết cho $3$ vì $2 + 9 = 11$, mà $11$ không phải là bội của $3$.
• $29$ không chia hết cho $5$ vì nó không tận cùng bằng $0$ hoặc $5$.

Việc kiểm tra $4$ không thêm gì ở đây vì mọi bội của $4$ đều là số chẵn, mà $29$ đã không chia hết cho $2$.

Không có ước nào đến $5$ chia hết $29$, nên $29$ là số nguyên tố.

Những lỗi thường gặp với số nguyên tố

Nói rằng $1$ là số nguyên tố

Điều đó không đúng. Định nghĩa yêu cầu đúng hai ước dương, còn $1$ chỉ có một.

Nghĩ rằng mọi số lẻ đều là số nguyên tố

Nhiều số lẻ là hợp số. Ví dụ, $21$ là số lẻ, nhưng

$$21 = 3 \times 7$$

nên nó không phải là số nguyên tố.

Kiểm tra quá xa

Nếu bạn chỉ đang kiểm tra tính nguyên tố, bạn không cần thử mọi số nhỏ hơn $n$. Dừng ở $\sqrt{n}$ là đủ.

Số nguyên tố được dùng ở đâu?

Số nguyên tố xuất hiện trong phân tích thừa số, các bài toán chia hết, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất. Chúng quan trọng vì mọi số nguyên lớn hơn $1$ đều có thể được phân tích thành các thừa số nguyên tố theo một cách duy nhất nếu bỏ qua thứ tự.

Chúng cũng xuất hiện trong số học mô-đun và mật mã học. Trong mật mã học, bối cảnh chuyên biệt hơn nhiều, và các số nguyên tố lớn được dùng cùng với những quy tắc và thuật toán bổ sung.

Hãy thử một bài tương tự

Hãy kiểm tra $47$ và $51$ bằng cùng phương pháp căn bậc hai. Một số là số nguyên tố và một số là hợp số, nên đây là cách nhanh để xem bạn đã hiểu quy tắc dừng ở $\sqrt{n}$ hay chưa.