Teori Bilangan — Bilangan Prima, Keterbagian & Aritmetika Modular

Teori bilangan adalah cabang matematika yang mempelajari bilangan bulat. Jika Anda ingin memahami bilangan prima, keterbagian, atau aritmetika modular, berarti Anda sudah melihat inti dari teori bilangan.

Bilangan prima adalah bilangan bulat lebih besar dari $1$ yang memiliki tepat dua pembagi positif: $1$ dan dirinya sendiri. Keterbagian menanyakan apakah satu bilangan bulat dapat membagi bilangan bulat lain tanpa sisa. Aritmetika modular melacak sisa hasil bagi, sehingga sering disebut juga aritmetika jam.

Apa Saja yang Dicakup dalam Teori Bilangan

Ketiga gagasan ini saling berkaitan:

• Bilangan prima adalah bahan penyusun dasar dari bilangan bulat positif.
• Keterbagian memberi tahu kapan satu bilangan bulat membagi bilangan bulat lain secara tepat.
• Aritmetika modular menulis ulang pertanyaan keterbagian sebagai pertanyaan tentang sisa.

Sebagai contoh, mengatakan "$a$ habis dibagi $n$" sama artinya dengan mengatakan

$$a \equiv 0 \pmod n$$

Jadi, pertanyaan tentang keterbagian sering kali bisa ditulis ulang sebagai pertanyaan tentang sisa.

Bilangan Prima: Bahan Penyusun Dasar

Bilangan prima dimulai dengan

$$2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$$

Bilangan $2$ adalah satu-satunya bilangan prima genap. Setiap bilangan genap lainnya habis dibagi $2$, sehingga tidak mungkin prima.

Jika sebuah bilangan bulat positif yang lebih besar dari $1$ bukan prima, bilangan itu disebut komposit. Misalnya, $21$ adalah komposit karena

$$21 = 3 \cdot 7$$

Bilangan prima penting karena setiap bilangan bulat yang lebih besar dari $1$ dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan prima, terlepas dari urutan faktor-faktornya. Inilah gagasan di balik faktorisasi prima.

Keterbagian: Saat Satu Bilangan Membagi Tepat Bilangan Lain

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat dengan $b \ne 0$, maka "$b$ membagi $a$" berarti ada bilangan bulat $k$ sehingga

$$a = bk$$

Ini ditulis sebagai

$$b \mid a$$

Sebagai contoh, $4 \mid 20$ karena $20 = 4 \cdot 5$. Tetapi $4 \nmid 22$ karena membagi $22$ dengan $4$ menghasilkan sisa.

Keterbagian adalah bahasa di balik faktor, kelipatan, faktor persekutuan terbesar, dan kelipatan persekutuan terkecil. Keterbagian juga menjelaskan aturan-aturan yang sudah dikenal:

• Suatu bilangan habis dibagi $2$ jika digit terakhirnya genap.
• Suatu bilangan habis dibagi $5$ jika digit terakhirnya $0$ atau $5$.
• Suatu bilangan habis dibagi $3$ jika jumlah digit-digitnya habis dibagi $3$.

Aturan terakhir itu bukan sekadar trik. Aturan itu berasal dari aritmetika modular.

Aritmetika Modular: Bekerja dengan Sisa

Ketika dua bilangan bulat memiliki sisa yang sama saat dibagi oleh $n$, keduanya disebut kongruen modulo $n$. Kita menulis

$$a \equiv b \pmod n$$

Ini berarti $n$ membagi $a-b$.

Sebagai contoh,

$$17 \equiv 5 \pmod{12}$$

karena $17$ dan $5$ sama-sama memiliki sisa $5$ saat dibagi $12$, dan juga karena $12$ membagi $17 - 5 = 12$.

Ini berguna karena Anda dapat mengganti suatu bilangan dengan bilangan lain yang kongruen tetapi lebih sederhana. Pada jam $12$-jam, menambah $15$ jam memberi efek yang sama dengan menambah $3$ jam karena

$$15 \equiv 3 \pmod{12}$$

Contoh Dikerjakan: Mengapa $231$ Habis Dibagi $3$?

Ambil bilangan $231$.

Pertama, tulis dalam bentuk nilai tempat:

$$231 = 2 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 1$$

Sekarang kerjakan modulo $3$. Karena

$$10 \equiv 1 \pmod 3$$

maka diperoleh

$$100 = 10^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod 3$$

Jadi

$$231 \equiv 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \equiv 2 + 3 + 1 = 6 \equiv 0 \pmod 3$$

Karena $231 \equiv 0 \pmod 3$, bilangan tersebut habis dibagi $3$.

Ini menjelaskan aturan jumlah digit: dalam basis $10$, setiap pangkat dari $10$ kongruen dengan $1$ modulo $3$, sehingga seluruh bilangan memiliki sisa yang sama dengan jumlah digit-digitnya.

Dan setelah dibagi,

$$231 = 3 \cdot 77 = 3 \cdot 7 \cdot 11$$

maka $231$ adalah bilangan komposit, bukan prima.

Kesalahan Umum dalam Teori Bilangan

Menganggap $1$ Sebagai Bilangan Prima

$1$ bukan bilangan prima. Bilangan prima harus memiliki tepat dua pembagi positif, sedangkan $1$ hanya memiliki satu.

Melupakan Syarat dalam Keterbagian

Pernyataan $b \mid a$ hanya masuk akal jika $b \ne 0$. Pembagian dengan nol tidak diperbolehkan.

Mencampuradukkan Kesamaan dan Kongruensi

$17 \equiv 5 \pmod{12}$ tidak berarti $17 = 5$. Artinya, selisih keduanya adalah kelipatan dari $12$.

Terlalu Mengandalkan Aturan Keterbagian

Beberapa uji cepat bekerja karena aritmetika basis-$10$ membuatnya cocok. Itu tidak berarti setiap pembagi memiliki aturan digit yang sederhana.

Di Mana Teori Bilangan Muncul

Pada tingkat sekolah, teori bilangan muncul dalam faktorisasi, soal sisa, pembuktian keterbagian, dan soal bergaya jam. Teori bilangan juga muncul saat Anda menyederhanakan pecahan, mencari faktor persekutuan, atau menyelesaikan soal dengan pola berulang.

Pada tingkat yang lebih dalam, bilangan prima dan aritmetika modular juga sangat penting dalam kriptografi dan ilmu komputer. Anda tidak perlu latar belakang itu untuk menggunakan gagasan-gagasannya, tetapi hal itu membantu menjelaskan mengapa teori bilangan terus muncul dalam konteks terapan.

Coba Versi Anda Sendiri

Coba gunakan penalaran yang sama untuk $462$. Pertama, gunakan jumlah digitnya untuk menguji keterbagian oleh $3$, lalu faktorkan secukupnya untuk menentukan apakah bilangan itu prima atau komposit.

Jika Anda ingin memeriksa metode Anda, selesaikan soal keterbagian atau sisa yang serupa di pemecah soal matematika dan bandingkan langkah-langkah aritmetika modularnya dengan langkah Anda sendiri.