Nombres premiers — Liste, définition et comment les reconnaître

Un nombre premier est un entier supérieur à $1$ qui a exactement deux diviseurs positifs : $1$ et lui-même. Ainsi, $2, 3, 5,$ et $7$ sont premiers, $1$ n’est pas premier, et des nombres comme $12$ sont composés.

Si un entier supérieur à $1$ a plus de deux diviseurs positifs, on l’appelle composé. Par exemple, $12$ est composé parce qu’il est divisible par $1, 2, 3, 4, 6,$ et $12$.

Nombres premiers jusqu’à 50

Voici les nombres premiers jusqu’à $50$ :

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47$$

Il n’existe pas de motif simple et régulier dans les écarts. Par exemple, $11$ et $13$ sont proches, mais l’écart suivant, de $23$ à $29$, est plus grand.

Qu’est-ce qui rend un nombre premier ?

Pour être premier, un nombre doit satisfaire les deux conditions suivantes :

1. Il doit être supérieur à $1$.
2. Ses seuls diviseurs positifs doivent être $1$ et le nombre lui-même.

C’est pourquoi $1$ n’est pas premier, et c’est aussi pourquoi $2$ est premier même s’il est pair. Le nombre $2$ a exactement deux diviseurs positifs : $1$ et $2$.

Comment savoir si un nombre est premier

Pour un entier $n > 1$, on peut tester s’il est premier en vérifiant si un entier de $2$ jusqu’à $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ le divise exactement.

La raison est pratique : si $n = ab$, alors l’un des facteurs doit être inférieur ou égal à $\sqrt{n}$. Donc, si aucun diviseur n’apparaît avant d’atteindre $\sqrt{n}$, il n’existe pas de paire de facteurs cachée au-dessus.

En pratique, on commence souvent par vérifier quelques règles simples de divisibilité :

1. Si $n$ est pair et supérieur à $2$, il n’est pas premier.
2. Si la somme de ses chiffres est un multiple de $3$, alors $n$ est divisible par $3$.
3. Si $n$ se termine par $0$ ou $5$ et est supérieur à $5$, il est divisible par $5$.

Ces raccourcis ne prouvent pas à eux seuls qu’un nombre est premier, mais ils permettent d’éliminer rapidement beaucoup de nombres composés.

Exemple détaillé : est-ce que $29$ est premier ?

Pour tester $29$, on remarque d’abord que

$$\sqrt{29} \approx 5.38$$

Il suffit donc de vérifier les diviseurs entiers jusqu’à $5$.

• $29$ n’est pas divisible par $2$ parce qu’il est impair.
• $29$ n’est pas divisible par $3$ parce que $2 + 9 = 11$, et $11$ n’est pas un multiple de $3$.
• $29$ n’est pas divisible par $5$ parce qu’il ne se termine ni par $0$ ni par $5$.

Vérifier $4$ n’apporte rien ici, car tout multiple de $4$ est pair, et $29$ n’est déjà pas divisible par $2$.

Aucun diviseur jusqu’à $5$ ne convient, donc $29$ est premier.

Erreurs fréquentes avec les nombres premiers

Dire que $1$ est premier

C’est faux. La définition exige exactement deux diviseurs positifs, et $1$ n’en a qu’un seul.

Penser que tout nombre impair est premier

Beaucoup de nombres impairs sont composés. Par exemple, $21$ est impair, mais

$$21 = 3 \times 7$$

donc il n’est pas premier.

Vérifier trop loin

Si vous testez seulement si un nombre est premier, vous n’avez pas besoin d’essayer tous les nombres inférieurs à $n$. S’arrêter à $\sqrt{n}$ suffit.

Où les nombres premiers sont utilisés

Les nombres premiers interviennent dans la factorisation, la divisibilité, les problèmes de plus grand commun diviseur et de plus petit commun multiple. Ils sont importants parce que tout entier supérieur à $1$ peut être décomposé en facteurs premiers de manière unique, à l’ordre près.

Ils apparaissent aussi en arithmétique modulaire et en cryptographie. En cryptographie, le cadre est beaucoup plus spécialisé, et de grands nombres premiers sont utilisés avec des règles et des algorithmes supplémentaires.

Essayez un problème similaire

Testez $47$ et $51$ avec la même méthode de la racine carrée. L’un est premier et l’autre est composé, donc c’est une façon rapide de vérifier si la règle d’arrêt à $\sqrt{n}$ vous paraît claire.