Asal Sayılar — Liste, Tanım ve Nasıl Bulunur

Asal sayı, $1$’den büyük ve tam olarak iki pozitif böleni olan tam sayıdır: $1$ ve kendisi. Bu yüzden $2, 3, 5,$ ve $7$ asaldır, $1$ asal değildir ve $12$ gibi sayılar bileşiktir.

$1$’den büyük bir tam sayının ikiden fazla pozitif böleni varsa buna bileşik sayı denir. Örneğin $12$ bileşiktir çünkü $1, 2, 3, 4, 6,$ ve $12$ sayılarına bölünür.

50’ye Kadar Asal Sayılar

İşte $50$’ye kadar olan asal sayılar:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47$$

Aralarındaki farklarda basit ve tekrar eden bir örüntü yoktur. Örneğin $11$ ile $13$ birbirine yakındır, ama $23$ ile $29$ arasındaki sonraki fark daha büyüktür.

Bir Sayıyı Asal Yapan Nedir?

Bir sayının asal olması için şu iki koşulu da sağlaması gerekir:

1. $1$’den büyük olmalıdır.
2. Tek pozitif bölenleri $1$ ve kendisi olmalıdır.

Bu yüzden $1$ asal değildir. Aynı nedenle $2$ çift olmasına rağmen asaldır. $2$ sayısının tam olarak iki pozitif böleni vardır: $1$ ve $2$.

Bir Sayının Asal Olduğu Nasıl Anlaşılır?

$n > 1$ olan bir tam sayının asal olup olmadığını anlamak için, $2$ ile $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ arasındaki herhangi bir tam sayının onu kalansız bölüp bölmediğini kontrol edebilirsiniz.

Bunun nedeni pratiktir: eğer $n = ab$ ise, çarpanlardan biri mutlaka $\sqrt{n}$’den küçük ya da ona eşit olmalıdır. Yani $\sqrt{n}$’ye kadar hiçbir bölen çıkmazsa, daha yukarıda gizli bir büyük çarpan çifti yoktur.

Günlük işlemlerde insanlar genelde önce küçük bölünebilme kurallarını kontrol eder:

1. Eğer $n$ çiftse ve $2$’den büyükse, asal değildir.
2. Rakamları toplamı $3$’ün katıysa, $n$ sayısı $3$’e bölünür.
3. Eğer $n$ sayısı $0$ veya $5$ ile bitiyorsa ve $5$’ten büyükse, $5$’e bölünür.

Bu kısa yollar tek başına bir sayının asal olduğunu kanıtlamaz, ama birçok bileşik sayıyı hızlıca elemenize yardımcı olur.

Çözümlü Örnek: $29$ Asal mı?

$29$’u test etmek için önce şunu not edin:

$$\sqrt{29} \approx 5.38$$

Bu yüzden $5$’e kadar olan tam sayı bölenleri kontrol etmek yeterlidir.

• $29$, tek olduğu için $2$’ye bölünmez.
• $29$, $2 + 9 = 11$ ve $11$ sayısı $3$’ün katı olmadığı için $3$’e bölünmez.
• $29$, sonu $0$ veya $5$ ile bitmediği için $5$’e bölünmez.

Burada $4$’ü kontrol etmek ek bir bilgi vermez çünkü $4$’ün her katı çifttir ve $29$’un zaten $2$’ye bölünmediğini biliyoruz.

$5$’e kadar hiçbir bölen işe yaramadığı için $29$ asaldır.

Asal Sayılarla İlgili Yaygın Hatalar

$1$’in asal olduğunu söylemek

Değildir. Tanım tam olarak iki pozitif bölen gerektirir, oysa $1$’in yalnızca bir tane vardır.

Her tek sayının asal olduğunu düşünmek

Birçok tek sayı bileşiktir. Örneğin $21$ tektir, ama

$$21 = 3 \times 7$$

olduğu için asal değildir.

Gereğinden fazla kontrol etmek

Sadece asal olup olmadığını test ediyorsanız, $n$’den küçük her sayıyı denemeniz gerekmez. $\sqrt{n}$’de durmak yeterlidir.

Asal Sayılar Nerelerde Kullanılır?

Asal sayılar çarpanlara ayırma, bölünebilme, en büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat problemlerinde karşımıza çıkar. Önemlidirler çünkü $1$’den büyük her tam sayı, sırası dışında tek bir şekilde asal çarpanlarına ayrılabilir.

Modüler aritmetik ve kriptografide de kullanılırlar. Kriptografide konu çok daha özeldir ve büyük asal sayılar ek kurallar ve algoritmalarla birlikte kullanılır.

Benzer Bir Soru Deneyin

Aynı karekök yöntemiyle $47$ ve $51$ sayılarını test edin. Biri asaldır, diğeri bileşiktir; bu da $\sqrt{n}$’de durma kuralını anlayıp anlamadığınızı hızlıca kontrol etmenin iyi bir yoludur.