Primzahlen – Liste, Definition & wie man sie erkennt

Eine Primzahl ist eine ganze Zahl größer als $1$ mit genau zwei positiven Teilern: $1$ und sich selbst. Daher sind $2, 3, 5,$ und $7$ prim, $1$ ist keine Primzahl, und Zahlen wie $12$ sind zusammengesetzt.

Wenn eine ganze Zahl größer als $1$ mehr als zwei positive Teiler hat, nennt man sie zusammengesetzt. Zum Beispiel ist $12$ zusammengesetzt, weil sie durch $1, 2, 3, 4, 6,$ und $12$ teilbar ist.

Primzahlen bis 50

Hier sind die Primzahlen bis $50$:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47$$

Es gibt kein einfaches, sich wiederholendes Muster bei den Abständen. Zum Beispiel liegen $11$ und $13$ nah beieinander, aber die nächste Lücke von $23$ zu $29$ ist größer.

Was macht eine Zahl zur Primzahl?

Damit eine Zahl prim ist, muss sie beide Bedingungen erfüllen:

1. Sie muss größer als $1$ sein.
2. Ihre einzigen positiven Teiler dürfen $1$ und die Zahl selbst sein.

Deshalb ist $1$ keine Primzahl, und deshalb ist auch $2$ prim, obwohl sie gerade ist. Die Zahl $2$ hat genau zwei positive Teiler: $1$ und $2$.

Wie erkennt man, ob eine Zahl prim ist?

Für eine ganze Zahl $n > 1$ kannst du prüfen, ob sie prim ist, indem du testest, ob irgendeine ganze Zahl von $2$ bis $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ sie ohne Rest teilt.

Der Grund ist praktisch: Wenn $n = ab$, dann muss einer der Faktoren kleiner oder gleich $\sqrt{n}$ sein. Wenn also bis $\sqrt{n}$ kein Teiler auftaucht, gibt es auch kein verborgenes Faktorenpaar mit einem größeren Faktor darüber.

Im Alltag prüft man meist zuerst einige einfache Teilbarkeitsregeln:

1. Wenn $n$ gerade und größer als $2$ ist, ist sie nicht prim.
2. Wenn die Ziffernsumme ein Vielfaches von $3$ ist, dann ist $n$ durch $3$ teilbar.
3. Wenn $n$ auf $0$ oder $5$ endet und größer als $5$ ist, dann ist sie durch $5$ teilbar.

Diese Abkürzungen beweisen für sich allein nicht, dass eine Zahl prim ist, aber sie helfen dabei, viele zusammengesetzte Zahlen schnell auszuschließen.

Beispiel: Ist $29$ prim?

Um $29$ zu prüfen, beachte zuerst:

$$\sqrt{29} \approx 5.38$$

Es reicht also, ganze Teiler bis $5$ zu prüfen.

• $29$ ist nicht durch $2$ teilbar, weil sie ungerade ist.
• $29$ ist nicht durch $3$ teilbar, weil $2 + 9 = 11$ ist und $11$ kein Vielfaches von $3$ ist.
• $29$ ist nicht durch $5$ teilbar, weil sie nicht auf $0$ oder $5$ endet.

$4$ zu prüfen bringt hier nichts, weil jedes Vielfache von $4$ gerade ist und $29$ bereits nicht durch $2$ teilbar ist.

Kein Teiler bis $5$ funktioniert, also ist $29$ prim.

Häufige Fehler bei Primzahlen

Zu sagen, dass $1$ prim ist

Das ist falsch. Die Definition verlangt genau zwei positive Teiler, und $1$ hat nur einen.

Zu denken, dass jede ungerade Zahl prim ist

Viele ungerade Zahlen sind zusammengesetzt. Zum Beispiel ist $21$ ungerade, aber

$$21 = 3 \times 7$$

also ist sie nicht prim.

Zu weit zu prüfen

Wenn du nur testen willst, ob eine Zahl prim ist, musst du nicht jede Zahl kleiner als $n$ ausprobieren. Es reicht, bei $\sqrt{n}$ aufzuhören.

Wo Primzahlen verwendet werden

Primzahlen kommen bei der Primfaktorzerlegung, bei Teilbarkeitsfragen, beim größten gemeinsamen Teiler und beim kleinsten gemeinsamen Vielfachen vor. Sie sind wichtig, weil jede ganze Zahl größer als $1$ in Primfaktoren zerlegt werden kann, und zwar eindeutig bis auf die Reihenfolge.

Sie tauchen auch in der modularen Arithmetik und in der Kryptografie auf. In der Kryptografie ist der Zusammenhang deutlich spezieller, und große Primzahlen werden zusammen mit weiteren Regeln und Algorithmen verwendet.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Prüfe $47$ und $51$ mit derselben Wurzelmethode. Eine Zahl ist prim und die andere zusammengesetzt. Das ist eine schnelle Möglichkeit zu testen, ob die Abbruchregel bei $\sqrt{n}$ für dich Sinn ergibt.