质数——列表、定义与判断方法

质数是一个大于 $1$ 的整数，并且恰好有两个正因数：$1$ 和它本身。所以 $2、3、5、7$ 是质数，$1$ 不是质数，而像 $12$ 这样的数是合数。

如果一个大于 $1$ 的整数有两个以上的正因数，就叫作合数。例如，$12$ 是合数，因为它能被 $1、2、3、4、6、12$ 整除。

50 以内的质数

下面是 $50$ 以内的质数：

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47$$

质数之间没有简单的重复间隔规律。例如，$11$ 和 $13$ 很接近，但从 $23$ 到 $29$ 的间隔就更大。

什么样的数是质数？

一个数要成为质数，必须同时满足这两个条件：

1. 它必须大于 $1$。
2. 它的正因数只能是 $1$ 和它本身。

这就是为什么 $1$ 不是质数，也解释了为什么 $2$ 虽然是偶数却仍然是质数。数字 $2$ 恰好有两个正因数：$1$ 和 $2$。

如何判断一个数是不是质数

对于整数 $n > 1$，你可以通过检查从 $2$ 到 $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ 的整数中，是否有任何一个能将它整除，来判断它是不是质数。

原因很实用：如果 $n = ab$，那么其中一个因数一定小于或等于 $\sqrt{n}$。所以如果检查到 $\sqrt{n}$ 还没有发现因数，就不会再有“藏在更大范围里”的因数组合了。

在实际计算中，人们通常会先检查一些简单的整除规则：

1. 如果 $n$ 是偶数且大于 $2$，那么它不是质数。
2. 如果各位数字之和是 $3$ 的倍数，那么 $n$ 能被 $3$ 整除。
3. 如果 $n$ 的末位是 $0$ 或 $5$，并且它大于 $5$，那么它能被 $5$ 整除。

这些快捷方法本身不能直接证明一个数是质数，但它们能帮助你快速排除很多合数。

例题：$29$ 是质数吗？

要检验 $29$，先注意到

$$\sqrt{29} \approx 5.38$$

所以只需要检查到 $5$ 以内的整数因数。

• $29$ 不能被 $2$ 整除，因为它是奇数。
• $29$ 不能被 $3$ 整除，因为 $2 + 9 = 11$，而 $11$ 不是 $3$ 的倍数。
• $29$ 不能被 $5$ 整除，因为它的末位不是 $0$ 或 $5$。

这里检查 $4$ 没有额外意义，因为任何 $4$ 的倍数都是偶数，而 $29$ 已经不能被 $2$ 整除。

到 $5$ 为止都没有找到因数，所以 $29$ 是质数。

质数常见错误

认为 $1$ 是质数

其实不是。根据定义，质数必须恰好有两个正因数，而 $1$ 只有一个。

认为所有奇数都是质数

很多奇数其实是合数。例如，$21$ 是奇数，但

$$21 = 3 \times 7$$

所以它不是质数。

检查得太远

如果你只是想判断一个数是不是质数，就不需要尝试所有小于 $n$ 的数。检查到 $\sqrt{n}$ 就够了。

质数有哪些用途

质数会出现在因式分解、整除性、最大公因数问题和最小公倍数问题中。它们之所以重要，是因为每个大于 $1$ 的整数都可以分解成质因数，而且这种分解除了顺序不同外是唯一的。

质数也会出现在模运算和密码学中。在密码学里，应用场景要更专业得多，通常会结合大质数以及额外的规则和算法一起使用。

试试类似的问题

用同样的平方根法检验 $47$ 和 $51$。其中一个是质数，另一个是合数，这能帮助你快速判断自己是否真正理解了“检查到 $\sqrt{n}$ 即可停止”这条规则。