Números primos — lista, definición y cómo identificarlos

Un número primo es un número entero mayor que $1$ con exactamente dos divisores positivos: $1$ y él mismo. Por eso, $2, 3, 5$ y $7$ son primos, $1$ no es primo, y números como $12$ son compuestos.

Si un número entero mayor que $1$ tiene más de dos divisores positivos, se llama compuesto. Por ejemplo, $12$ es compuesto porque es divisible entre $1, 2, 3, 4, 6$ y $12$.

Números Primos Hasta 50

Aquí están los números primos hasta $50$:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47$$

No hay un patrón simple de separación que se repita. Por ejemplo, $11$ y $13$ están muy cerca, pero la siguiente separación de $23$ a $29$ es mayor.

¿Qué Hace Que Un Número Sea Primo?

Para ser primo, un número debe cumplir ambas condiciones:

1. Debe ser mayor que $1$.
2. Sus únicos divisores positivos deben ser $1$ y el propio número.

Por eso $1$ no es primo, y también por eso $2$ es primo aunque sea par. El número $2$ tiene exactamente dos divisores positivos: $1$ y $2$.

Cómo Saber Si Un Número Es Primo

Para un número entero $n > 1$, puedes comprobar si es primo revisando si algún número entero desde $2$ hasta $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ lo divide exactamente.

La razón es práctica: si $n = ab$, entonces uno de los factores debe ser menor o igual que $\sqrt{n}$. Así que, si no aparece ningún divisor al llegar a $\sqrt{n}$, no hay ningún par de factores oculto por encima de ese valor.

En la práctica, la gente suele comprobar primero algunas reglas pequeñas de divisibilidad:

1. Si $n$ es par y mayor que $2$, no es primo.
2. Si la suma de sus cifras es múltiplo de $3$, entonces $n$ es divisible entre $3$.
3. Si $n$ termina en $0$ o en $5$ y es mayor que $5$, es divisible entre $5$.

Estos atajos no demuestran por sí solos que un número sea primo, pero ayudan a descartar rápidamente muchos números compuestos.

Ejemplo Resuelto: ¿$29$ Es Primo?

Para comprobar $29$, primero observa que

$$\sqrt{29} \approx 5.38$$

Así que basta con revisar divisores enteros hasta $5$.

• $29$ no es divisible entre $2$ porque es impar.
• $29$ no es divisible entre $3$ porque $2 + 9 = 11$, y $11$ no es múltiplo de $3$.
• $29$ no es divisible entre $5$ porque no termina en $0$ ni en $5$.

Comprobar $4$ no aporta nada aquí porque cualquier múltiplo de $4$ es par, y ya sabemos que $29$ no es divisible entre $2$.

Ningún divisor hasta $5$ funciona, así que $29$ es primo.

Errores Comunes Con Los Números Primos

Decir que $1$ es primo

No lo es. La definición exige exactamente dos divisores positivos, y $1$ solo tiene uno.

Pensar que todo número impar es primo

Muchos números impares son compuestos. Por ejemplo, $21$ es impar, pero

$$21 = 3 \times 7$$

así que no es primo.

Comprobar demasiado

Si solo estás comprobando si un número es primo, no necesitas probar todos los números menores que $n$. Basta con detenerse en $\sqrt{n}$.

Dónde Se Usan Los Números Primos

Los números primos aparecen en la factorización, la divisibilidad, los problemas de máximo común divisor y los de mínimo común múltiplo. Son importantes porque todo número entero mayor que $1$ puede descomponerse en factores primos de una forma única salvo el orden.

También aparecen en la aritmética modular y en la criptografía. En criptografía, el contexto es mucho más especializado, y se usan números primos grandes junto con reglas y algoritmos adicionales.

Prueba Un Problema Similar

Comprueba $47$ y $51$ con el mismo método de la raíz cuadrada. Uno es primo y el otro es compuesto, así que esta es una forma rápida de ver si la regla de detenerse en $\sqrt{n}$ tiene sentido para ti.