Πρώτοι Αριθμοί — Λίστα, Ορισμός και Πώς να τους Βρίσκετε

Ένας πρώτος αριθμός είναι ένας ακέραιος μεγαλύτερος από το $1$ που έχει ακριβώς δύο θετικούς διαιρέτες: το $1$ και τον εαυτό του. Άρα οι $2, 3, 5,$ και $7$ είναι πρώτοι, το $1$ δεν είναι πρώτος, και αριθμοί όπως το $12$ είναι σύνθετοι.

Αν ένας ακέραιος μεγαλύτερος από το $1$ έχει περισσότερους από δύο θετικούς διαιρέτες, λέγεται σύνθετος. Για παράδειγμα, το $12$ είναι σύνθετος επειδή διαιρείται με τα $1, 2, 3, 4, 6,$ και $12$.

Πρώτοι Αριθμοί έως το 50

Ακολουθούν οι πρώτοι αριθμοί έως το $50$:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47$$

Δεν υπάρχει ένα απλό επαναλαμβανόμενο μοτίβο στα κενά μεταξύ τους. Για παράδειγμα, το $11$ και το $13$ είναι κοντά μεταξύ τους, αλλά το επόμενο κενό από το $23$ στο $29$ είναι μεγαλύτερο.

Τι Κάνει Έναν Αριθμό Πρώτο;

Για να είναι ένας αριθμός πρώτος, πρέπει να ικανοποιεί και τις δύο συνθήκες:

1. Να είναι μεγαλύτερος από το $1$.
2. Οι μόνοι θετικοί διαιρέτες του να είναι το $1$ και ο ίδιος ο αριθμός.

Γι’ αυτό το $1$ δεν είναι πρώτος, και γι’ αυτό επίσης το $2$ είναι πρώτος παρόλο που είναι άρτιος. Ο αριθμός $2$ έχει ακριβώς δύο θετικούς διαιρέτες: το $1$ και το $2$.

Πώς να Καταλάβετε αν Ένας Αριθμός Είναι Πρώτος

Για έναν ακέραιο $n > 1$, μπορείτε να ελέγξετε αν είναι πρώτος εξετάζοντας αν κάποιος ακέραιος από το $2$ έως το $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ τον διαιρεί ακριβώς.

Ο λόγος είναι πρακτικός: αν $n = ab$, τότε ένας από τους δύο παράγοντες πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος με το $\sqrt{n}$. Άρα, αν δεν εμφανιστεί κανένας διαιρέτης μέχρι να φτάσετε στο $\sqrt{n}$, δεν υπάρχει κάποιο «κρυφό» ζεύγος παραγόντων μεγαλύτερα από αυτό το όριο.

Στην πράξη, συνήθως ελέγχουμε πρώτα μερικούς απλούς κανόνες διαιρετότητας:

1. Αν το $n$ είναι άρτιο και μεγαλύτερο από το $2$, δεν είναι πρώτος.
2. Αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του $3$, τότε το $n$ διαιρείται με το $3$.
3. Αν το $n$ τελειώνει σε $0$ ή $5$ και είναι μεγαλύτερο από το $5$, διαιρείται με το $5$.

Αυτές οι συντομεύσεις δεν αποδεικνύουν από μόνες τους ότι ένας αριθμός είναι πρώτος, αλλά βοηθούν να αποκλείσετε γρήγορα πολλούς σύνθετους αριθμούς.

Λυμένο Παράδειγμα: Είναι το $29$ Πρώτος;

Για να ελέγξουμε το $29$, παρατηρούμε πρώτα ότι

$$\sqrt{29} \approx 5.38$$

Άρα αρκεί να ελέγξουμε ακέραιους διαιρέτες έως το $5$.

• Το $29$ δεν διαιρείται με το $2$ επειδή είναι περιττός.
• Το $29$ δεν διαιρείται με το $3$ επειδή $2 + 9 = 11$, και το $11$ δεν είναι πολλαπλάσιο του $3$.
• Το $29$ δεν διαιρείται με το $5$ επειδή δεν τελειώνει σε $0$ ή $5$.

Ο έλεγχος του $4$ δεν προσθέτει κάτι εδώ, επειδή κάθε πολλαπλάσιο του $4$ είναι άρτιο, και το $29$ ήδη δεν διαιρείται με το $2$.

Κανένας διαιρέτης έως το $5$ δεν λειτουργεί, άρα το $29$ είναι πρώτος.

Συνηθισμένα Λάθη με τους Πρώτους Αριθμούς

Να λέμε ότι το $1$ είναι πρώτος

Δεν είναι. Ο ορισμός απαιτεί ακριβώς δύο θετικούς διαιρέτες, και το $1$ έχει μόνο έναν.

Να νομίζουμε ότι κάθε περιττός αριθμός είναι πρώτος

Πολλοί περιττοί αριθμοί είναι σύνθετοι. Για παράδειγμα, το $21$ είναι περιττός, αλλά

$$21 = 3 \times 7$$

άρα δεν είναι πρώτος.

Να ελέγχουμε πιο πέρα απ’ όσο χρειάζεται

Αν ελέγχετε μόνο αν ένας αριθμός είναι πρώτος, δεν χρειάζεται να δοκιμάσετε κάθε αριθμό μικρότερο από το $n$. Αρκεί να σταματήσετε στο $\sqrt{n}$.

Πού Χρησιμοποιούνται οι Πρώτοι Αριθμοί

Οι πρώτοι αριθμοί εμφανίζονται στην παραγοντοποίηση, στη διαιρετότητα, σε προβλήματα μέγιστου κοινού διαιρέτη και ελάχιστου κοινού πολλαπλασίου. Είναι σημαντικοί επειδή κάθε ακέραιος μεγαλύτερος από το $1$ μπορεί να αναλυθεί σε πρώτους παράγοντες με τρόπο μοναδικό, εκτός από τη σειρά.

Εμφανίζονται επίσης στη modular arithmetic και στην κρυπτογραφία. Στην κρυπτογραφία, το πλαίσιο είναι πολύ πιο εξειδικευμένο, και χρησιμοποιούνται μεγάλοι πρώτοι αριθμοί μαζί με επιπλέον κανόνες και αλγορίθμους.

Δοκιμάστε ένα Παρόμοιο Πρόβλημα

Ελέγξτε τους αριθμούς $47$ και $51$ με την ίδια μέθοδο της τετραγωνικής ρίζας. Ο ένας είναι πρώτος και ο άλλος σύνθετος, οπότε αυτός είναι ένας γρήγορος τρόπος να δείτε αν ο κανόνας διακοπής στο $\sqrt{n}$ σάς φαίνεται λογικός.