Numeri primi — elenco, definizione e come trovarli

Un numero primo è un numero intero maggiore di $1$ con esattamente due divisori positivi: $1$ e se stesso. Quindi $2, 3, 5,$ e $7$ sono primi, $1$ non è primo e numeri come $12$ sono composti.

Se un numero intero maggiore di $1$ ha più di due divisori positivi, si chiama composto. Per esempio, $12$ è composto perché è divisibile per $1, 2, 3, 4, 6,$ e $12$.

Numeri primi fino a 50

Ecco i numeri primi fino a $50$:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47$$

Non esiste uno schema semplice e regolare negli intervalli. Per esempio, $11$ e $13$ sono vicini, ma l’intervallo successivo da $23$ a $29$ è più grande.

Cosa rende primo un numero?

Per essere primo, un numero deve soddisfare entrambe queste condizioni:

1. Deve essere maggiore di $1$.
2. I suoi unici divisori positivi devono essere $1$ e il numero stesso.

Per questo motivo $1$ non è primo, ed è anche per questo che $2$ è primo anche se è pari. Il numero $2$ ha esattamente due divisori positivi: $1$ e $2$.

Come capire se un numero è primo

Per un numero intero $n > 1$, puoi verificare se è primo controllando se qualche numero intero da $2$ fino a $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ lo divide esattamente.

Il motivo è pratico: se $n = ab$, allora uno dei fattori deve essere minore o uguale a $\sqrt{n}$. Quindi, se non compare alcun divisore entro $\sqrt{n}$, non esiste una coppia di fattori più grandi nascosta oltre quel punto.

Nel lavoro quotidiano, di solito si controllano prima alcune semplici regole di divisibilità:

1. Se $n$ è pari e maggiore di $2$, non è primo.
2. Se la somma delle cifre è un multiplo di $3$, allora $n$ è divisibile per $3$.
3. Se $n$ termina con $0$ o $5$ ed è maggiore di $5$, è divisibile per $5$.

Queste scorciatoie da sole non dimostrano che un numero è primo, ma aiutano a escludere rapidamente molti numeri composti.

Esempio svolto: $29$ è primo?

Per verificare $29$, osserva prima che

$$\sqrt{29} \approx 5.38$$

Quindi basta controllare i divisori interi fino a $5$.

• $29$ non è divisibile per $2$ perché è dispari.
• $29$ non è divisibile per $3$ perché $2 + 9 = 11$, e $11$ non è un multiplo di $3$.
• $29$ non è divisibile per $5$ perché non termina con $0$ o $5$.

Controllare $4$ qui non aggiunge nulla, perché ogni multiplo di $4$ è pari e $29$ non è già divisibile per $2$.

Nessun divisore fino a $5$ funziona, quindi $29$ è primo.

Errori comuni con i numeri primi

Dire che $1$ è primo

Non lo è. La definizione richiede esattamente due divisori positivi, e $1$ ne ha solo uno.

Pensare che ogni numero dispari sia primo

Molti numeri dispari sono composti. Per esempio, $21$ è dispari, ma

$$21 = 3 \times 7$$

quindi non è primo.

Controllare troppo oltre

Se stai solo verificando se un numero è primo, non devi provare ogni numero minore di $n$. Fermarsi a $\sqrt{n}$ è sufficiente.

Dove si usano i numeri primi

I numeri primi compaiono nella fattorizzazione, nella divisibilità, nei problemi sul massimo comune divisore e nei problemi sul minimo comune multiplo. Sono importanti perché ogni intero maggiore di $1$ può essere scomposto in fattori primi in modo unico, a meno dell’ordine.

Compaiono anche nell’aritmetica modulare e nella crittografia. In crittografia, il contesto è molto più specializzato e si usano numeri primi grandi insieme ad altre regole e algoritmi.

Prova un esercizio simile

Verifica $47$ e $51$ con lo stesso metodo della radice quadrata. Uno è primo e uno è composto, quindi è un modo rapido per controllare se la regola di fermarsi a $\sqrt{n}$ ti è chiara.