Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) - Metode & Contoh

Kelipatan persekutuan terkecil, atau KPK, adalah bilangan positif terkecil yang menjadi kelipatan bersama dari dua atau lebih bilangan bulat positif. Misalnya, KPK dari $6$ dan $8$ adalah $24$ karena $24$ merupakan kelipatan dari kedua bilangan tersebut, dan tidak ada bilangan positif yang lebih kecil yang memenuhi.

Inilah konsep yang biasanya dibutuhkan untuk penyebut sama, jadwal yang berulang, dan soal yang menanyakan kapan dua pola akan bertemu lagi.

Apa Arti KPK

Kelipatan dari $6$ adalah setiap bilangan berbentuk $6k$ untuk suatu bilangan bulat positif $k$: $6, 12, 18, 24, \dots$

Kelipatan dari $8$ adalah setiap bilangan berbentuk $8k$: $8, 16, 24, 32, \dots$

Bilangan positif pertama yang muncul di kedua daftar adalah $24$, jadi:

$$\mathrm{LCM}(6,8) = 24$$

Ada satu perbedaan penting yang perlu diingat:

• Faktor membagi suatu bilangan.
• Kelipatan dihasilkan dengan mengalikan suatu bilangan.

KPK membahas kelipatan, bukan faktor.

Tiga Cara Andal untuk Mencari KPK

1. Daftar Kelipatan

Cara ini cocok untuk bilangan kecil.

Untuk $4$ dan $10$:

• Kelipatan dari $4$: $4, 8, 12, 16, 20, \dots$
• Kelipatan dari $10$: $10, 20, 30, \dots$

Kelipatan persekutuan pertama adalah $20$, jadi KPK-nya adalah $20$.

2. Gunakan Faktorisasi Prima

Ini sering menjadi metode yang paling jelas untuk bilangan bulat positif yang lebih besar.

Tuliskan setiap bilangan sebagai hasil kali bilangan prima, lalu ambil setiap faktor prima yang muncul dengan pangkat terbesar yang muncul untuk masing-masing faktor prima.

3. Gunakan Hubungan dengan FPB

Untuk dua bilangan bulat positif $a$ dan $b$,

$$\mathrm{LCM}(a,b) = \frac{a \cdot b}{\mathrm{GCD}(a,b)}$$

Metode ini efisien jika Anda sudah mengetahui faktor persekutuan terbesar. Syaratnya penting: rumus ini digunakan untuk bilangan bulat positif.

Contoh Soal: Cari KPK dari $12$ dan $18$

Gunakan faktorisasi prima:

$$12 = 2^2 \cdot 3$$ $$18 = 2 \cdot 3^2$$

Untuk membentuk KPK, ambil setiap faktor prima dengan pangkat yang lebih besar:

• Untuk $2$, pangkat yang lebih besar adalah $2$
• Untuk $3$, pangkat yang lebih besar adalah $2$

Jadi:

$$\mathrm{LCM}(12,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$$

Periksa langsung:

• $36 \div 12 = 3$
• $36 \div 18 = 2$

Jadi $36$ adalah kelipatan persekutuan. Metode faktor prima menghasilkan yang paling kecil karena menggunakan tepat pangkat prima yang diperlukan untuk memuat kedua bilangan.

Kapan KPK Digunakan

KPK berguna ketika suatu soal meminta siklus bersama atau penyebut bersama.

Salah satu contoh umum adalah penjumlahan pecahan:

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{8}$$

Penyebut $6$ dan $8$ memiliki KPK $24$, jadi $24$ adalah penyebut bersama yang praktis:

$$\frac{1}{6} = \frac{4}{24}, \qquad \frac{1}{8} = \frac{3}{24}$$

Lalu:

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{7}{24}$$

Anda juga menggunakan KPK ketika dua peristiwa berulang terjadi setiap $m$ dan $n$ satuan, dan Anda ingin mengetahui waktu pertama keduanya terjadi bersamaan.

Kesalahan Umum

Tertukar antara KPK dan FPB

Jika soal meminta kelipatan persekutuan terkecil, gunakan KPK. Jika meminta faktor persekutuan terbesar, gunakan FPB.

Berhenti pada Kelipatan Persekutuan yang Bukan yang Terkecil

Untuk $6$ dan $8$, baik $24$ maupun $48$ adalah kelipatan persekutuan, tetapi hanya $24$ yang merupakan kelipatan persekutuan terkecil.

Menggunakan Aturan Faktor Prima Tanpa Faktorisasi Prima

Aturan "ambil pangkat yang lebih besar" berlaku setelah bilangan ditulis sebagai faktorisasi prima dari bilangan bulat positif.

Pemeriksaan Cepat

Setelah menemukan KPK, periksa dua hal:

1. Apakah jawaban Anda habis dibagi oleh setiap bilangan asal?
2. Apakah ada kelipatan persekutuan positif yang lebih kecil?

Untuk metode faktor prima, pemeriksaan kedua biasanya sudah tercakup dalam metodenya sendiri.

Coba Versi Anda Sendiri

Coba cari KPK dari $15$ dan $20$ dengan dua cara: dengan mendaftar kelipatan dan dengan faktorisasi prima. Jika Anda ingin pemeriksaan kedua untuk bilangan yang lebih besar, pemecah soal matematika dapat membantu memverifikasi faktorisasi dan kelipatan akhirnya.