Bentuk Akar — Menyederhanakan, Menjumlahkan & Merasionalkan

Bentuk akar adalah ekspresi akar yang tetap irasional setelah disederhanakan. Contoh yang umum adalah $\sqrt{2}$ dan $3\sqrt{5}$. Untuk mengerjakan bentuk akar, sederhanakan dulu, gabungkan hanya bentuk akar sejenis, dan rasionalkan penyebut jika masih ada akar di sana.

Bentuk akar penting karena mempertahankan nilai eksak. Misalnya, $\sqrt{2}$ lebih presisi daripada desimal pembulatan seperti $1.414$.

Apa Arti Bentuk Akar

Jika suatu akar dapat disederhanakan menjadi bilangan rasional, biasanya itu tidak dianggap sebagai bentuk akar. Misalnya,

$$\sqrt{9} = 3$$

jadi $\sqrt{9}$ bukan bentuk akar setelah disederhanakan.

Tetapi

$$\sqrt{2}$$

tidak dapat disederhanakan menjadi bilangan rasional, sehingga itu adalah bentuk akar.

Gagasan yang sama berlaku untuk ekspresi seperti $2\sqrt{3}$, $\sqrt{7}$, atau $5\sqrt{11}$. Semua itu adalah ekspresi radikal eksak yang nilainya tetap irasional setelah disederhanakan.

Cara Menyederhanakan Bentuk Akar

Untuk menyederhanakan bentuk akar, carilah faktor kuadrat sempurna di dalam akar.

Sebagai contoh,

$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36}\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$

Tujuannya adalah mengeluarkan kuadrat sempurna dari tanda akar dan menyisakan hanya bagian yang bukan kuadrat di dalamnya.

Jika bilangan di bawah akar tidak memiliki faktor kuadrat sempurna yang lebih besar dari $1$, maka bentuk akar itu sudah sederhana.

Cara Menjumlahkan dan Mengurangkan Bentuk Akar

Kamu hanya bisa menjumlahkan atau mengurangkan bentuk akar jika keduanya sejenis, artinya bagian akarnya yang sudah disederhanakan sama.

Sebagai contoh,

$$2\sqrt{8} + \sqrt{18}$$

tidak bisa langsung digabungkan. Pertama, sederhanakan masing-masing bentuk akar:

$$2\sqrt{8} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

dan

$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

Sekarang kedua suku memiliki bagian akar yang sama, sehingga

$$4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$$

Inilah pola utamanya: sederhanakan dulu, lalu gabungkan koefisiennya jika bagian akarnya sama.

Contoh Soal: Sederhanakan, Jumlahkan, Lalu Rasionalkan

Sederhanakan

$$\frac{2\sqrt{8} + \sqrt{18}}{\sqrt{3}}$$

Mulailah dengan menyederhanakan pembilang:

$$2\sqrt{8} = 4\sqrt{2}$$

dan

$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

Jadi pecahan tersebut menjadi

$$\frac{4\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

Sekarang rasionalkan penyebut dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{3}$:

$$\frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{6}}{3}$$

Jadi hasil sederhananya adalah

$$\frac{7\sqrt{6}}{3}$$

Satu contoh ini menunjukkan alur lengkapnya: sederhanakan setiap bentuk akar, gabungkan bentuk akar sejenis, lalu rasionalkan penyebut.

Cara Merasionalkan Penyebut

Merasionalkan penyebut berarti menghilangkan akar dari bagian bawah pecahan tanpa mengubah nilainya.

Jika penyebutnya berupa satu bentuk akar, kalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk akar itu. Misalnya,

$$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$

Jika penyebut memiliki dua suku, seperti $a + \sqrt{b}$, gunakan sekawan $a - \sqrt{b}$. Cara ini berhasil karena

$$(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b$$

dan $a^2 - b$ tidak memiliki suku bentuk akar.

Kesalahan Umum pada Bentuk Akar

Menjumlahkan Sebelum Menyederhanakan

$\sqrt{8}$ dan $\sqrt{18}$ tidak langsung tampak sebagai bentuk akar sejenis, tetapi setelah disederhanakan keduanya menjadi $2\sqrt{2}$ dan $3\sqrt{2}$. Jika kamu melewatkan langkah penyederhanaan, kamu sering kehilangan kesempatan untuk menggabungkannya dengan mudah.

Menggabungkan Bentuk Akar yang Tidak Sejenis

Secara umum,

$$\sqrt{2} + \sqrt{3} \ne \sqrt{5}$$

Kamu hanya bisa menggabungkan koefisien jika bagian akarnya yang sudah disederhanakan sama.

Memisahkan Akar pada Penjumlahan

Secara umum,

$$\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

Sebagai contoh, $\sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$, tetapi $\sqrt{4} + \sqrt{5} = 2 + \sqrt{5}$, yang tidak sama dengan $3$.

Mencoret Bentuk Akar Secara Keliru

Pada

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

kamu tidak bisa mencoret akar kuadratnya karena bilangan di dalamnya berbeda. Kamu perlu menyederhanakan dengan benar atau merasionalkan penyebut.

Kapan Bentuk Akar Digunakan

Bentuk akar muncul ketika nilai eksak melibatkan akar dari bilangan yang bukan kuadrat sempurna. Tempat yang umum meliputi geometri, teorema Pythagoras, persamaan kuadrat, trigonometri, dan penyederhanaan aljabar.

Bentuk akar sangat berguna ketika bentuk eksak lebih penting daripada pendekatan desimal. Misalnya, sebuah persegi dengan panjang sisi $3$ memiliki diagonal $3\sqrt{2}$, bukan hanya nilai desimal pendekatan.

Daftar Cek Singkat untuk Soal Bentuk Akar

Saat mengerjakan bentuk akar, tanyakan:

1. Apakah saya sudah menyederhanakan setiap bentuk akar terlebih dahulu?
2. Apakah bentuk-bentuk akar itu benar-benar sejenis sebelum saya jumlahkan atau kurangkan?
3. Jika ada pecahan, apakah penyebutnya masih mengandung akar?
4. Apakah saya mempertahankan jawaban dalam bentuk eksak kecuali soal meminta desimal?

Keempat pemeriksaan ini mencegah sebagian besar kesalahan rutin.

Coba Soal Serupa

Coba sederhanakan

$$\frac{\sqrt{50} + \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$$

Kerjakan dengan urutan yang sama: sederhanakan setiap bentuk akar, gabungkan suku sejenis, lalu periksa apakah perasionalkan masih diperlukan. Jika kamu menggunakan pemecah langkah demi langkah, bandingkan setiap langkah aljabarnya, bukan hanya jawaban akhirnya.