Sistem Bilangan - Biner, Oktal, Heksadesimal

Biner, oktal, dan heksadesimal semuanya adalah sistem nilai tempat. Perbedaannya terletak pada basisnya. Biner berbasis $2$, oktal berbasis $8$, dan heksadesimal berbasis $16$. Setelah ide ini dipahami, simbol-simbolnya tidak lagi terasa misterius.

Dalam setiap sistem bilangan posisional, setiap tempat adalah pangkat dari basis. Dalam basis $10$, nilai tempatnya adalah $1$, $10$, $100$, dan seterusnya. Dalam basis $2$, nilai tempatnya adalah $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, dan seterusnya. Aturan yang sama berlaku untuk semua basis.

Simbol yang Digunakan Tiap Sistem Bilangan

Biner hanya menggunakan digit $0$ dan $1$.

Oktal menggunakan digit $0$ sampai $7$.

Heksadesimal menggunakan $16$ simbol: $0$ sampai $9$, lalu $A$ sampai $F$ untuk nilai $10$ sampai $15$.

Artinya, satu digit heksadesimal dapat memuat lebih banyak informasi daripada satu digit biner karena satu posisi heksa dihitung dalam pangkat $16$, bukan pangkat $2$.

Intuisi Utama

Sebuah bilangan tidak berubah nilainya hanya karena ditulis dalam basis yang berbeda. Yang berubah hanyalah representasinya.

Sebagai contoh, bilangan basis-$10$ $45$ tetap merupakan kuantitas yang sama, baik ditulis dalam biner, oktal, maupun heksadesimal. Basis yang berbeda seperti bahasa yang berbeda untuk jumlah yang sama.

Satu Contoh Kuat: Tulis $45$ Dalam Biner, Oktal, dan Heksa

Mulai dari basis $10$.

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

Itu adalah pangkat-pangkat dari $2$:

$$32 = 2^5,\quad 8 = 2^3,\quad 4 = 2^2,\quad 1 = 2^0$$

Jadi bentuk binernya memiliki $1$ pada posisi $2^5$, $2^3$, $2^2$, dan $2^0$:

$$45_{10} = 101101_2$$

Sekarang gunakan bentuk biner untuk mendapatkan oktal. Karena $8 = 2^3$, kelompokkan digit biner menjadi kelompok berisi $3$ dari kanan:

$$101101_2 = 101\ 101_2$$

Setiap kelompok menjadi satu digit oktal:

$$101_2 = 5,\quad 101_2 = 5$$

Jadi

$$45_{10} = 55_8$$

Sekarang cari bentuk heksadesimal. Karena $16 = 2^4$, kelompokkan digit biner menjadi kelompok berisi $4$ dari kanan. Tambahkan nol di depan jika diperlukan:

$$101101_2 = 0010\ 1101_2$$

Lalu ubah setiap kelompok:

$$0010_2 = 2,\quad 1101_2 = 13 = D$$

Jadi

$$45_{10} = 2D_{16}$$

Ketiga bentuk tersebut menyatakan kuantitas yang sama:

$$45_{10} = 101101_2 = 55_8 = 2D_{16}$$

Kesalahan yang Sering Terjadi

Salah satu kesalahan umum adalah lupa bahwa basis mengubah nilai tempat. Deretan $101$ tidak berarti sama dalam basis $2$, basis $8$, dan basis $10$.

Kesalahan lain adalah menggunakan digit yang tidak diizinkan oleh basis tersebut. Misalnya, $2$ tidak dapat muncul dalam bilangan biner, dan $8$ tidak dapat muncul dalam bilangan oktal.

Siswa juga sering salah mengelompokkan digit biner saat mengubah ke oktal atau heksadesimal. Kelompokkan dari kanan, dan tambahkan nol di depan jika perlu agar kelompoknya lengkap.

Kapan Sistem Bilangan Ini Digunakan

Biner adalah bahasa dasar sistem digital karena sakelar secara alami memiliki dua keadaan. Oktal dan heksadesimal adalah cara yang lebih ringkas untuk menulis deretan biner yang panjang.

Anda tidak perlu belajar ilmu komputer untuk memahami ide matematikanya. Sistem-sistem ini tetap penting karena melatih aturan inti di balik semua notasi posisional: nilai bergantung pada basis dan posisinya.

Coba Konversi Serupa

Coba ubah $58_{10}$ ke dalam biner, oktal, dan heksadesimal. Mula-mula tulis sebagai jumlah pangkat-pangkat $2$, lalu kelompokkan digit binernya untuk mendapatkan dua bentuk lainnya.