Bentuk Titik-Kemiringan

Bentuk titik-kemiringan adalah rumus persamaan garis

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

Gunakan bentuk ini saat Anda mengetahui satu titik pada garis yang tidak vertikal dan gradiennya. Dalam rumus ini, $(x_1, y_1)$ adalah titik yang diketahui dan $m$ adalah gradien. Bentuk ini sering menjadi cara tercepat untuk menulis persamaan sebelum diubah ke bentuk gradien-intersep.

Apa Arti Bentuk Titik-Kemiringan

Gradien membandingkan perubahan vertikal dengan perubahan horizontal. Jika suatu garis memiliki gradien $m$, maka

$$m = \frac{y - y_1}{x - x_1}$$

selama $x \ne x_1$. Mengalikan kedua sisi dengan $x - x_1$ menghasilkan

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

Jadi, bentuk titik-kemiringan hanyalah definisi gradien yang ditulis ulang agar titik yang diketahui tetap terlihat jelas.

Mengapa Rumus Ini Berguna

Anggap $(x_1, y_1)$ sebagai titik acuan. Ekspresi $x - x_1$ memberi tahu seberapa jauh Anda bergerak secara horizontal dari titik itu. Mengalikannya dengan $m$ memberi perubahan vertikal yang sesuai, sehingga $y - y_1$ harus sama dengan $m(x - x_1)$.

Itulah sebabnya bentuk ini terasa langsung: mulai dari satu titik yang diketahui, lalu bangun garisnya menggunakan gradien.

Contoh Soal: Menulis Garis dari Satu Titik dan Gradien

Tentukan persamaan garis dengan gradien $-4$ yang melalui $(2, 3)$.

Mulai dengan rumus:

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

Substitusikan $m = -4$, $x_1 = 2$, dan $y_1 = 3$:

$$y - 3 = -4(x - 2)$$

Itu sudah merupakan jawaban akhir yang benar dalam bentuk titik-kemiringan.

Jika Anda ingin bentuk gradien-intersep, kembangkan:

$$y - 3 = -4x + 8$$ $$y = -4x + 11$$

Kedua persamaan tersebut menggambarkan garis yang sama. Bentuk titik-kemiringan dan bentuk gradien-intersep adalah dua cara berbeda untuk menulis hubungan yang sama.

Pemeriksaan cepat membantu mencegah kesalahan terlewat. Substitusikan titik yang diberikan:

$$y - 3 = -4(2 - 2) = 0$$

Jadi $y = 3$, yang sesuai dengan titik asal $(2, 3)$.

Kesalahan Umum pada Bentuk Titik-Kemiringan

1. Menukar nilai titik. Jika titiknya $(2, 3)$, tulis $y - 3$ dan $x - 2$, bukan $y - 2$ dan $x - 3$.
2. Kehilangan tanda minus pada koordinat negatif. Jika titiknya $(-1, 5)$, maka $x - (-1)$ menjadi $x + 1$.
3. Mengira persamaan harus disederhanakan. $y - 3 = -4(x - 2)$ sudah merupakan persamaan garis yang valid.
4. Menggunakan bentuk titik-kemiringan untuk garis vertikal. Garis vertikal memiliki gradien tak terdefinisi, jadi ditulis sebagai $x = c$.

Kapan Menggunakan Bentuk Titik-Kemiringan

Gunakan bentuk titik-kemiringan ketika kedua hal ini diketahui:

1. Satu titik pada garis yang tidak vertikal
2. Gradien garis tersebut

Bentuk ini sering muncul dalam soal aljabar dan geometri koordinat karena banyak soal memberikan tepat informasi itu. Bentuk ini juga berguna setelah Anda menghitung gradien dari dua titik dan masih perlu menentukan persamaan garisnya.

Pemeriksaan Cepat Sebelum Lanjut

Lihat kembali titik yang diberikan pada soal. Jika Anda tidak bisa melihat titik itu dengan jelas di dalam $y - y_1 = m(x - x_1)$, atau jika saat disubstitusikan kedua sisi tidak sama, kemungkinan substitusinya salah.

Coba Soal Serupa

Cobalah menulis persamaan garis dengan gradien $\frac{1}{2}$ yang melalui $(-4, 1)$. Tulis dulu dalam bentuk titik-kemiringan, lalu ubah hanya jika Anda ingin bentuk gradien-intersep. Jika ingin satu contoh lagi, pelajari bentuk gradien-intersep berikutnya dan bandingkan bagaimana garis yang sama terlihat dalam kedua format.