Types de triangles — équilatéral, isocèle, scalène et plus

Les principaux types de triangles se définissent soit par la longueur de leurs côtés, soit par la mesure de leurs angles. Selon les côtés, un triangle est équilatéral, isocèle ou scalène. Selon les angles, il est aigu, rectangle ou obtus.

Un même triangle reçoit généralement une étiquette dans chaque groupe. Par exemple, un triangle peut être à la fois isocèle et obtus, ou à la fois scalène et rectangle. C’est l’idée essentielle que la plupart des élèves cherchent quand ils recherchent « types de triangles ».

Types de triangles selon la longueur des côtés

Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral a trois côtés égaux. En géométrie euclidienne, cela signifie aussi que ses trois angles sont égaux, donc chaque angle mesure $60^\circ$.

Comme ses trois angles sont inférieurs à $90^\circ$, tout triangle équilatéral est aussi aigu.

Triangle isocèle

Un triangle isocèle a au moins deux côtés égaux. Les angles opposés à ces côtés égaux sont également égaux.

Un triangle isocèle n’est pas forcément aigu. Selon ses angles, il peut être aigu, rectangle ou obtus.

Triangle scalène

Un triangle scalène a trois côtés de longueurs différentes. En géométrie euclidienne, ses trois angles sont eux aussi tous différents.

Comme un triangle isocèle, un triangle scalène peut tout de même être aigu, rectangle ou obtus.

Types de triangles selon la mesure des angles

Triangle aigu

Un triangle aigu a trois angles inférieurs à $90^\circ$.

Triangle rectangle

Un triangle rectangle a un angle exactement égal à $90^\circ$.

Triangle obtus

Un triangle obtus a un angle supérieur à $90^\circ$. Comme la somme des angles d’un triangle vaut $180^\circ$, il ne peut y avoir qu’un seul angle obtus.

Comment classer un triangle à partir des longueurs de ses côtés

Si vous ne connaissez que les trois longueurs des côtés, vérifiez d’abord qu’elles peuvent bien former un triangle. L’inégalité triangulaire dit que la somme de deux côtés quelconques doit être supérieure au troisième.

Ensuite, repérez le côté le plus long et notez-le $c$. Comparez $c^2$ à $a^2 + b^2$ pour les deux autres côtés.

$$\text{Si } c^2 = a^2 + b^2, \text{ le triangle est rectangle.}$$ $$\text{Si } c^2 < a^2 + b^2, \text{ le triangle est aigu.}$$ $$\text{Si } c^2 > a^2 + b^2, \text{ le triangle est obtus.}$$

Cette comparaison ne fonctionne qu’après avoir vérifié l’inégalité triangulaire.

Exemple corrigé : classer $5$, $5$ et $8$

Supposons qu’un triangle ait pour côtés $5$, $5$ et $8$.

Vérifions d’abord qu’il est valide :

$$5 + 5 > 8$$

Ces longueurs forment donc bien un triangle. Classons-le ensuite selon ses côtés. Deux côtés sont égaux, donc le triangle est isocèle.

Classons-le maintenant selon ses angles. Le côté le plus long est $8$, donc on compare :

$$8^2 = 64$$

et

$$5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$$

Comme $64 > 50$, le triangle est obtus.

La classification complète est donc un triangle isocèle obtus.

Cet exemple montre pourquoi il faut bien séparer les deux systèmes. « Isocèle » décrit les côtés. « Obtus » décrit les angles.

Erreurs fréquentes quand on nomme les types de triangles

1. Traiter équilatéral, isocèle et scalène comme s’il s’agissait du même type d’étiquette que aigu, rectangle et obtus.
2. Oublier que le fait qu’un triangle équilatéral soit aussi considéré comme isocèle dépend de la convention utilisée. Dans beaucoup de contextes scolaires, équilatéral est classé à part.
3. Dire qu’un triangle est scalène avant de vérifier que les trois longueurs peuvent réellement former un triangle.
4. Supposer qu’isocèle signifie toujours aigu. Ce n’est pas le cas.
5. Utiliser la comparaison issue du théorème de Pythagore sur des longueurs de côtés sans avoir d’abord identifié le côté le plus long.

Quand ces classifications des triangles sont utiles

Les types de triangles apparaissent en géométrie, en trigonométrie et dans de nombreux problèmes avec figures. La classification indique souvent quel résultat ou quel raccourci est le plus utile.

Par exemple, un triangle rectangle permet d’utiliser directement le théorème de Pythagore. Un triangle isocèle donne une symétrie d’angles égaux. Un triangle scalène demande généralement des outils plus généraux, car il n’y a pas de raccourci lié à des côtés égaux.

Essayez un problème similaire

Essayez de classer les longueurs $6$, $8$ et $10$. Déterminez d’abord le type selon les côtés, puis utilisez la comparaison des carrés pour déterminer le type selon les angles. Ensuite, remplacez le côté le plus long par $11$ et voyez quelle partie de la classification change.