Triangle scalène — Propriétés

Un triangle scalène est un triangle dont les trois côtés ont des longueurs différentes. En géométrie euclidienne, cela signifie aussi que ses trois angles intérieurs sont tous différents. Si les trois longueurs de côté sont différentes et qu’elles vérifient l’inégalité triangulaire, alors le triangle est scalène.

C’est l’idée principale dont la plupart des élèves ont besoin. Le mot scalène indique qu’il n’y a pas de symétrie liée à des côtés égaux, donc il ne faut pas utiliser les raccourcis valables pour un triangle isocèle, comme l’égalité des angles à la base.

Propriétés importantes du triangle scalène

Pour un triangle scalène :

1. Les trois longueurs de côté sont différentes.
2. Les trois angles intérieurs sont différents.
3. Le côté le plus long est opposé au plus grand angle.
4. Le côté le plus court est opposé au plus petit angle.
5. Le triangle peut quand même être aigu, rectangle ou obtus.

Le dernier point est important. « Scalène » décrit les longueurs des côtés, pas le type d’angles.

Pourquoi les angles doivent être différents

Dans tout triangle, des côtés égaux sont opposés à des angles égaux. La réciproque est aussi vraie : des angles égaux sont opposés à des côtés égaux.

Donc, si aucun côté n’est égal à un autre, aucun angle ne peut être égal à un autre. En général, il n’est pas nécessaire de calculer les angles pour le savoir. Les longueurs des côtés l’imposent déjà.

Exemple résolu avec des côtés de longueurs 4, 5 et 6

Prenons un triangle dont les côtés mesurent $4$, $5$ et $6$.

Vérifions d’abord que ces longueurs forment bien un triangle :

$$4 + 5 > 6, \quad 4 + 6 > 5, \quad 5 + 6 > 4$$

Le triangle est donc valide. Comme les trois longueurs de côté sont différentes, il est scalène.

On peut maintenant lire immédiatement des informations utiles sur les angles :

1. Le plus grand angle est opposé au côté de longueur $6$.
2. Le plus petit angle est opposé au côté de longueur $4$.
3. L’angle restant est opposé au côté de longueur $5$.

Cela suffit souvent pour résoudre une question de géométrie sans calculer exactement chaque angle.

Erreurs fréquentes pour identifier un triangle scalène

1. Oublier de vérifier d’abord l’inégalité triangulaire.
2. Penser que « non équilatéral » veut dire « scalène ». Un triangle isocèle n’est pas équilatéral, mais il n’est pas scalène non plus.
3. Supposer qu’un triangle scalène ne peut pas être rectangle. C’est faux.
4. Confondre le type de côtés et le type d’angles. « Scalène » concerne uniquement l’égalité des côtés.

Quand utiliser les propriétés du triangle scalène

On utilise ces propriétés lorsque la classification du triangle influence l’étape suivante. Dans les problèmes de géométrie, cela revient souvent à décider si des arguments de symétrie sont possibles.

Si un triangle est scalène, il faut généralement utiliser des outils généraux plutôt que des raccourcis liés à la symétrie. Selon le problème, cela peut être la loi des sinus, la loi des cosinus ou une formule d’aire.

Vérification rapide

Un triangle de côtés $7$, $7$ et $10$ n’est pas scalène, car deux côtés sont égaux. Un triangle de côtés $5$, $7$ et $9$ est scalène, car les côtés sont tous différents et l’inégalité triangulaire est vérifiée.

Essayez un problème similaire

Essayez avec des côtés de longueurs $5$, $7$ et $9$. Vérifiez l’inégalité triangulaire, décidez si le triangle est scalène, puis classez les angles du plus petit au plus grand en observant les côtés opposés. Si vous voulez un autre cas de géométrie ensuite, comparez-le à un triangle isocèle et remarquez quels raccourcis de symétrie disparaissent.