三角形の種類 — 正三角形・二等辺三角形・不等辺三角形 など

三角形の主な種類は、辺の長さまたは角の大きさにもとづいて分類されます。辺による分類では、正三角形・二等辺三角形・不等辺三角形があります。角による分類では、鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形があります。

1つの三角形には、ふつうそれぞれの分類から1つずつ名前がつきます。たとえば、二等辺三角形であり鈍角三角形でもある場合や、不等辺三角形であり直角三角形でもある場合があります。これが「三角形の種類」を考えるときの大事なポイントです。

辺の長さによる三角形の種類

正三角形

正三角形は、3辺の長さがすべて等しい三角形です。ユークリッド幾何では、このことから3つの角もすべて等しくなり、各角は $60^\circ$ です。

3つの角がすべて $90^\circ$ 未満なので、正三角形は必ず鋭角三角形でもあります。

二等辺三角形

二等辺三角形は、少なくとも2辺の長さが等しい三角形です。その等しい辺に向かい合う角も等しくなります。

二等辺三角形は、必ずしも鋭角三角形とは限りません。角の大きさによって、鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のいずれにもなります。

不等辺三角形

不等辺三角形は、3辺の長さがすべて異なる三角形です。ユークリッド幾何では、3つの角の大きさもすべて異なります。

二等辺三角形と同じように、不等辺三角形も鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のいずれにもなりえます。

角の大きさによる三角形の種類

鋭角三角形

鋭角三角形は、3つの角がすべて $90^\circ$ 未満の三角形です。

直角三角形

直角三角形は、1つの角がちょうど $90^\circ$ の三角形です。

鈍角三角形

鈍角三角形は、1つの角が $90^\circ$ より大きい三角形です。三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、鈍角は1つしかありえません。

辺の長さから三角形を分類する方法

3辺の長さだけがわかっているなら、まずそれらで本当に三角形が作れるかを確かめます。三角不等式より、どの2辺の長さの和も残りの1辺より大きくなければなりません。

そのあとで、いちばん長い辺を $c$ とします。そして、残りの2辺を $a$, $b$ として、$c^2$ と $a^2 + b^2$ を比べます。

$$\text{If } c^2 = a^2 + b^2, \text{ the triangle is right.}$$ $$\text{If } c^2 < a^2 + b^2, \text{ the triangle is acute.}$$ $$\text{If } c^2 > a^2 + b^2, \text{ the triangle is obtuse.}$$

この比較が使えるのは、辺の長さが三角不等式を満たしたあとだけです。

例題：$5$, $5$, $8$ を分類する

ある三角形の辺の長さが $5$, $5$, $8$ だとします。

まず、三角形として成り立つかを確認します。

$$5 + 5 > 8$$

したがって、これらの長さで三角形を作ることができます。次に、辺による分類をします。2辺が等しいので、この三角形は 二等辺三角形 です。

次に、角による分類をします。いちばん長い辺は $8$ なので、次を比べます。

$$8^2 = 64$$

そして

$$5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$$

$64 > 50$ なので、この三角形は 鈍角三角形 です。

したがって、完全な分類は 鈍角二等辺三角形 です。

この例から、2つの分類方法を分けて考えるべき理由がわかります。「二等辺」は辺の性質を表し、「鈍角」は角の性質を表します。

三角形の種類を答えるときのよくある間違い

1. 正三角形・二等辺三角形・不等辺三角形を、鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形と同じ種類のラベルだと考えてしまうこと。
2. 正三角形が二等辺三角形にも含まれるかどうかは、使っている約束によることを忘れること。学校では、分類のために正三角形を別に扱うことがよくあります。
3. 3つの長さで本当に三角形が作れるかを確かめる前に、不等辺三角形だと決めてしまうこと。
4. 二等辺三角形は必ず鋭角三角形だと思い込むこと。そうではありません。
5. いちばん長い辺を先に確認せずに、三平方の定理の比較を使ってしまうこと。

こうした三角形の分類が役立つ場面

三角形の種類は、幾何、三角比、図形の問題などでよく出てきます。分類がわかると、どの性質や解法を使うとよいか判断しやすくなります。

たとえば、直角三角形なら三平方の定理をそのまま使えます。二等辺三角形なら、等しい角による対称性が使えます。不等辺三角形では、等しい辺を利用する近道がないので、より一般的な方法が必要になることが多いです。

似た問題に挑戦してみよう

辺の長さが $6$, $8$, $10$ の三角形を分類してみましょう。まず辺による種類を決め、そのあと平方の比較で角による種類を決めます。さらに、いちばん長い辺を $11$ に変えると、分類のどの部分が変わるかも考えてみましょう。