Fonctions exponentielles — croissance, décroissance et graphes

Les fonctions exponentielles modélisent des multiplications répétées. Dans la forme standard $f(x) = a b^x$, la variable est dans l’exposant, $a$ est la valeur initiale, et $b$ est le facteur constant appliqué chaque fois que $x$ augmente de $1$.

Si $b > 1$, la fonction représente une croissance. Si $0 < b < 1$, elle représente une décroissance. C’est l’idée principale dont la plupart des élèves ont besoin au départ.

$$f(x) = a b^x$$

Pour les fonctions exponentielles à valeurs réelles, les conditions usuelles sont $b > 0$ et $b \ne 1$.

Définition d’une fonction exponentielle

Le critère essentiel est simple : la variable d’entrée, généralement $x$, doit être dans l’exposant. C’est ce qui rend la relation multiplicative plutôt qu’additive.

Ainsi, $f(x) = 3 \cdot 2^x$ est une fonction exponentielle, mais $f(x) = 3x^2$ ne l’est pas. Dans $3x^2$, la variable est la base, pas l’exposant.

Cela change complètement le comportement. Les fonctions polynomiales croissent selon des puissances de $x$. Les fonctions exponentielles augmentent ou diminuent selon le même facteur chaque fois que $x$ augmente de $1$.

Croissance ou décroissance dans les fonctions exponentielles

Dans

$$f(x) = a b^x$$

la base $b$ détermine le comportement :

• Si $b > 1$, chaque pas vers la droite multiplie la valeur de sortie par un nombre supérieur à $1$, donc le graphe croît.
• Si $0 < b < 1$, chaque pas vers la droite multiplie la valeur de sortie par une fraction, donc le graphe décroît.

Par exemple, $2^x$ croît parce que chaque pas multiplie par $2$. Mais $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ décroît parce que chaque pas multiplie par $\frac{1}{2}$.

Comportement du graphe d’une fonction exponentielle

Le graphe d’une fonction exponentielle de base est continu, et non formé de points disjoints. Quelques caractéristiques méritent d’être repérées tôt :

1. Il coupe la droite $x = 0$ en $f(0) = a$, car $b^0 = 1$.
2. Pour la forme de base avec $a > 0$, le graphe reste au-dessus de l’axe des $x$.
3. La droite $y = 0$ est une asymptote horizontale, donc le graphe se rapproche de plus en plus de l’axe des $x$ sans jamais le toucher.
4. Les graphes de croissance montent vers la droite. Les graphes de décroissance descendent vers la droite.

Ces caractéristiques permettent de lire rapidement le graphe avant même de calculer beaucoup de points.

Exemple corrigé : tracer le graphe de $f(x) = 3 \cdot 2^x$

Cet exemple montre en même temps les deux idées les plus importantes : la valeur initiale et le facteur de croissance.

$$f(x) = 3 \cdot 2^x$$

Commencez par calculer quelques valeurs :

$$\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & \frac{3}{4} & \frac{3}{2} & 3 & 6 & 12 \end{array}$$

Le graphe devient alors plus facile à lire :

• L’ordonnée à l’origine est $(0, 3)$, donc la valeur initiale est $3$.
• Chaque pas vers la droite double la valeur de sortie, car la base est $2$.
• Le graphe monte de plus en plus vite, mais il se rapproche toujours de $y = 0$ très loin vers la gauche.

Si vous remplacez la base $2$ par $\frac{1}{2}$, la même structure devient une décroissance exponentielle au lieu d’une croissance.

Erreurs fréquentes

Confondre fonctions exponentielles et fonctions polynomiales

$x^3$ n’est pas une fonction exponentielle. La variable est la base. Dans $3^x$, la variable est l’exposant, donc c’est une fonction exponentielle.

Oublier que la base détermine la croissance ou la décroissance

Dans la forme standard $a b^x$ avec $a > 0$, il y a croissance si $b > 1$ et décroissance si $0 < b < 1$. L’étiquette dépend de la base, pas d’une impression vague que le graphe « finit par monter ».

Oublier la valeur initiale

Dans $f(x) = a b^x$, la valeur pour $x = 0$ est $a$. C’est la quantité initiale.

Confondre facteur multiplicatif et pourcentage de variation

Si une quantité augmente de $20\%$ à chaque étape, le multiplicateur est $1.2$, pas $0.2$. Si elle diminue de $20\%$ à chaque étape, le multiplicateur est $0.8$.

Quand utilise-t-on les fonctions exponentielles ?

Les fonctions exponentielles sont utilisées lorsque l’évolution se fait selon un facteur constant sur des intervalles égaux. Exemples courants :

• intérêts composés
• croissance d’une population avec un taux de croissance fixe
• décroissance radioactive
• modèles de refroidissement et autres processus de décroissance

Si la variation est additive plutôt que multiplicative, un modèle exponentiel n’est généralement pas le bon choix.

Essayez un exemple similaire vous-même

Essayez votre propre version avec $f(x) = 5(0.7)^x$. Calculez $f(0)$, $f(1)$ et $f(2)$, puis esquissez le graphe et vérifiez si les valeurs diminuent selon le même facteur à chaque étape. Ce simple changement de base, de $2$ à $0.7$, suffit à voir clairement la différence entre croissance et décroissance.