PGCD et PPCM — Méthodes, astuces et exemples

Le PGCD est le plus grand nombre entier qui divise exactement deux nombres ou plus. Le PPCM est le plus petit nombre entier qui est divisible par tous ces nombres.

Pour $12$ et $18$, le PGCD est $6$ et le PPCM est $36$. On utilise le PGCD quand on cherche le plus grand partage égal ou quand on veut simplifier une fraction. On utilise le PPCM quand on a besoin d’un dénominateur commun ou quand on veut savoir à quel moment des cycles répétitifs se recoupent.

PGCD vs PPCM : l’idée essentielle

Un facteur est un nombre qui divise un autre nombre sans reste. Un multiple est un nombre obtenu par multiplication.

Cela donne la différence principale :

• Le PGCD cherche le plus grand facteur commun.
• Le PPCM cherche le plus petit multiple commun.

Dans de nombreux contextes scolaires, le PGCD correspond à la même idée que GCF ou GCD pour les entiers positifs. Le nom change selon les régions, mais l’idée arithmétique reste la même.

Quand utiliser le PGCD et quand utiliser le PPCM

Utilisez le PGCD quand la question porte sur un découpage en plus grandes parts égales ou sur la réduction d’une fraction.

Utilisez le PPCM quand la question porte sur des cycles qui coïncident, sur la recherche d’un dénominateur commun, ou sur le premier nombre dans lequel les deux valeurs divisent exactement.

Un test rapide peut aider :

• « Quel est le plus grand morceau commun ? » signifie PGCD.
• « Quel est le premier total commun ? » signifie PPCM.

Comment trouver le PGCD et le PPCM

1. Méthode par liste

Pour de petits nombres, faire une liste est souvent la méthode la plus rapide.

Si vous cherchez le PGCD, listez les facteurs et choisissez le plus grand en commun.

Si vous cherchez le PPCM, listez les multiples et choisissez le premier en commun.

2. Méthode de la décomposition en facteurs premiers

Pour des entiers positifs plus grands, la décomposition en facteurs premiers est généralement plus claire.

Écrivez chaque nombre comme un produit de nombres premiers. Ensuite :

• Pour le PGCD, gardez seulement les facteurs premiers communs et prenez le plus petit exposant.
• Pour le PPCM, gardez tous les facteurs premiers présents et prenez le plus grand exposant.

Cela fonctionne parce que le PGCD doit être contenu dans les deux nombres, tandis que le PPCM doit contenir assez de facteurs premiers pour couvrir les deux nombres.

Exemple corrigé : PGCD et PPCM de $12$ et $18$

Commençons par la décomposition en facteurs premiers :

$$12 = 2^2 \cdot 3$$ $$18 = 2 \cdot 3^2$$

PGCD

Les facteurs premiers communs sont $2$ et $3$. Prenez à chaque fois le plus petit exposant :

$$\mathrm{HCF}(12,18) = 2^1 \cdot 3^1 = 6$$

PPCM

Gardez tous les facteurs premiers présents, en prenant à chaque fois le plus grand exposant :

$$\mathrm{LCM}(12,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$$

Donc pour cette paire,

$$\mathrm{HCF}(12,18) = 6 \qquad \text{and} \qquad \mathrm{LCM}(12,18) = 36$$

Astuce pour deux nombres

Pour deux entiers positifs $a$ et $b$,

$$\mathrm{HCF}(a,b) \cdot \mathrm{LCM}(a,b) = a \cdot b$$

Donc si vous en connaissez déjà un, vous pouvez souvent trouver l’autre :

$$6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$$

La condition est importante ici. Cette astuce, sous cette forme simple, s’applique à deux entiers positifs.

Erreurs fréquentes avec le PGCD et le PPCM

Confondre facteurs et multiples

Le PGCD concerne les nombres qui divisent les nombres de départ. Le PPCM concerne les nombres dans lesquels les nombres de départ divisent exactement.

Utiliser les mauvais exposants dans la décomposition en facteurs premiers

Pour le PGCD, prenez le plus petit exposant. Pour le PPCM, prenez le plus grand exposant. Inverser ces règles donne vite une mauvaise réponse.

Choisir un nombre commun qui n’est pas le bon

$2$ et $3$ sont tous deux des facteurs communs de $12$ et $18$, mais aucun des deux n’est le plus grand. De même, $72$ est un multiple commun de $12$ et $18$, mais ce n’est pas le plus petit.

Utiliser la formule du produit sans la bonne condition

L’astuce

$$\mathrm{HCF}(a,b) \cdot \mathrm{LCM}(a,b) = a \cdot b$$

est une vérification classique pour deux entiers positifs. Ce n’est pas la méthode principale à appliquer aveuglément à tous les problèmes avec plusieurs nombres.

Où le PGCD et le PPCM sont utilisés

Le PGCD sert à simplifier des fractions et à répartir des quantités en plus grands groupes égaux.

Le PPCM sert à trouver des dénominateurs communs et à résoudre des problèmes de temps, par exemple quand deux événements périodiques se produisent de nouveau ensemble.

Par exemple, pour simplifier

$$\frac{12}{18},$$

divisez le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, qui est $6$ :

$$\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$

Si vous additionniez des fractions de dénominateurs $12$ et $18$, le PPCM $36$ serait un dénominateur commun pratique.

Essayez un problème similaire

Trouvez le PGCD et le PPCM de $20$ et $30$ en utilisant la décomposition en facteurs premiers. Vérifiez ensuite votre résultat avec

$$\mathrm{HCF}(20,30) \cdot \mathrm{LCM}(20,30) = 20 \cdot 30.$$

Si les deux côtés sont égaux, c’est que la méthode est comprise.