Théorie des nombres — nombres premiers, divisibilité et arithmétique modulaire

La théorie des nombres est l’étude des nombres entiers. Si vous voulez comprendre les nombres premiers, la divisibilité ou l’arithmétique modulaire, vous êtes déjà au cœur de la théorie des nombres.

Un nombre premier est un entier supérieur à $1$ qui possède exactement deux diviseurs positifs : $1$ et lui-même. La divisibilité demande si un entier en divise un autre sans reste. L’arithmétique modulaire suit les restes, c’est pourquoi on l’appelle souvent l’arithmétique de l’horloge.

Ce que couvre la théorie des nombres

Ces trois idées vont ensemble :

• Les nombres premiers sont les briques de base des entiers positifs.
• La divisibilité indique quand un entier entre exactement dans un autre.
• L’arithmétique modulaire reformule les questions de divisibilité en questions de reste.

Par exemple, dire que "$a$ est divisible par $n$" revient à dire

$$a \equiv 0 \pmod n$$

Donc une question de divisibilité peut souvent être réécrite comme une question de reste.

Nombres premiers : les briques de base

Les nombres premiers commencent par

$$2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$$

Le nombre $2$ est le seul nombre premier pair. Tout autre nombre pair est divisible par $2$, donc il ne peut pas être premier.

Si un entier positif supérieur à $1$ n’est pas premier, on l’appelle composé. Par exemple, $21$ est composé car

$$21 = 3 \cdot 7$$

Les nombres premiers sont importants parce que tout entier supérieur à $1$ peut s’écrire comme un produit de nombres premiers, à l’ordre des facteurs près. C’est l’idée de la décomposition en facteurs premiers.

Divisibilité : quand un nombre entre exactement dans un autre

Si $a$ et $b$ sont des entiers avec $b \ne 0$, alors "$b$ divise $a$" signifie qu’il existe un entier $k$ tel que

$$a = bk$$

Cela s’écrit

$$b \mid a$$

Par exemple, $4 \mid 20$ parce que $20 = 4 \cdot 5$. Mais $4 \nmid 22$ parce que la division de $22$ par $4$ laisse un reste.

La divisibilité est le langage des facteurs, des multiples, du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple. Elle explique aussi des tests familiers :

• Un nombre est divisible par $2$ si son dernier chiffre est pair.
• Un nombre est divisible par $5$ si son dernier chiffre est $0$ ou $5$.
• Un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.

Cette dernière règle n’est pas une astuce. Elle vient de l’arithmétique modulaire.

Arithmétique modulaire : travailler avec les restes

Quand deux entiers laissent le même reste dans la division par $n$, on dit qu’ils sont congrus modulo $n$. On écrit

$$a \equiv b \pmod n$$

Cela signifie que $n$ divise $a-b$.

Par exemple,

$$17 \equiv 5 \pmod{12}$$

parce que $17$ et $5$ laissent tous deux le reste $5$ lorsqu’on les divise par $12$, et aussi parce que $12$ divise $17 - 5 = 12$.

C’est utile parce qu’on peut remplacer un nombre par un nombre congru plus simple. Sur une horloge de $12$ heures, ajouter $15$ heures a le même effet qu’ajouter $3$ heures parce que

$$15 \equiv 3 \pmod{12}$$

Exemple détaillé : pourquoi $231$ est-il divisible par $3$ ?

Prenons le nombre $231$.

D’abord, écrivons-le sous forme de valeur de position :

$$231 = 2 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 1$$

Maintenant, travaillons modulo $3$. Comme

$$10 \equiv 1 \pmod 3$$

il s’ensuit que

$$100 = 10^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod 3$$

Donc

$$231 \equiv 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \equiv 2 + 3 + 1 = 6 \equiv 0 \pmod 3$$

Comme $231 \equiv 0 \pmod 3$, le nombre est divisible par $3$.

Cela explique la règle de la somme des chiffres : en base $10$, chaque puissance de $10$ est congrue à $1$ modulo $3$, donc le nombre entier a le même reste que la somme de ses chiffres.

Et une fois qu’on effectue la division,

$$231 = 3 \cdot 77 = 3 \cdot 7 \cdot 11$$

donc $231$ est composé, et non premier.

Erreurs fréquentes en théorie des nombres

Considérer $1$ comme premier

$1$ n’est pas premier. Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs positifs, et $1$ n’en a qu’un seul.

Oublier la condition dans la divisibilité

L’énoncé $b \mid a$ n’a de sens que si $b \ne 0$. La division par zéro n’est pas autorisée.

Confondre égalité et congruence

$17 \equiv 5 \pmod{12}$ ne signifie pas que $17 = 5$. Cela signifie qu’ils diffèrent d’un multiple de $12$.

Abuser des règles de divisibilité

Certains tests sont rapides parce que l’arithmétique en base $10$ les rend pratiques. Cela ne veut pas dire que chaque diviseur possède une règle simple fondée sur les chiffres.

Où apparaît la théorie des nombres

Au niveau scolaire, la théorie des nombres apparaît dans la factorisation, les problèmes de reste, les preuves de divisibilité et les questions de type horloge. Elle intervient aussi quand on simplifie des fractions, qu’on cherche des facteurs communs ou qu’on résout des problèmes avec des cycles répétitifs.

À un niveau plus avancé, les nombres premiers et l’arithmétique modulaire sont aussi au centre de la cryptographie et de l’informatique. Vous n’avez pas besoin de ce contexte pour utiliser ces idées, mais cela aide à comprendre pourquoi la théorie des nombres réapparaît si souvent dans des contextes appliqués.

Essayez votre propre version

Essayez le même raisonnement avec $462$. Utilisez d’abord la somme de ses chiffres pour tester la divisibilité par $3$, puis factorisez-le suffisamment pour décider s’il est premier ou composé.

Si vous voulez vérifier votre méthode, résolvez un problème similaire de divisibilité ou de reste dans un solveur de maths et comparez les étapes d’arithmétique modulaire avec les vôtres.