Comment factoriser une expression algébrique

Pour résumer la méthode de factorisation : « on extrait d'abord les facteurs communs », « on cherche une décomposition adaptée à la forme de l'expression », et « on vérifie enfin en développant ». Pour les expressions du second degré, l'idée centrale est de trouver deux nombres dont le produit et la somme correspondent aux coefficients de l'équation.

Par exemple, pour $x^2 + 5x + 6$, il suffit de chercher le produit de deux expressions qui, une fois développées, redonnent la forme initiale :

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

C'est cela, la factorisation.

Qu'est-ce que la factorisation ?

Factoriser consiste à transformer une expression écrite sous forme de somme en un produit. Si le développement est l'opération qui consiste à « distribuer » la multiplication, la factorisation est l'opération inverse.

Le fait de transformer une expression ainsi permet de résoudre des équations plus facilement ou de mieux visualiser la structure d'une formule. Cependant, il n'est pas toujours possible de factoriser simplement en utilisant uniquement des nombres entiers.

Que regarder en premier ?

La première chose à vérifier est la présence d'un facteur commun à tous les termes. Si vous sautez cette étape, la structure finale sera plus difficile à identifier.

Par exemple,

$6x^2 + 9x$

Comme $3x$ est présent dans les deux termes, on écrit :

$6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$

L'expression est ainsi suffisamment factorisée.

Méthode fondamentale pour les expressions du second degré

Pour une expression de la forme $x^2 + bx + c$, on cherche deux nombres qui satisfont simultanément les deux conditions suivantes :

1. Leur produit est égal à $c$
2. Leur somme est égale à $b$

Cette méthode est particulièrement efficace lorsque le coefficient de $x^2$ est égal à $1$.

Exemple : Factoriser $x^2 + 7x + 12$

Ici, nous cherchons deux nombres dont le produit est $12$ et la somme est $7$.

$3 \times 4 = 12,\qquad 3 + 4 = 7$

Les nombres qui correspondent à ces conditions sont $3$ et $4$, on obtient donc :

$x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$

Pour vérifier, nous développons l'expression :

$(x + 3)(x + 4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$

On retrouve bien l'expression d'origine. La factorisation est donc correcte.

Erreurs courantes

1. Oublier le facteur commun. Par exemple, pour $4x^2 - 8x$, il est plus naturel d'extraire d'abord $4x$ pour obtenir $4x(x - 2)$.
2. Choisir des nombres dont seul le produit correspond, mais pas la somme. Pour un trinôme du second degré, les deux conditions sont indispensables.
3. Se tromper de signe. En particulier, quand $c$ est négatif, il faut envisager deux nombres de signes opposés.
4. Sauter l'étape de vérification. Un simple développement à la fin permet de détecter la majorité des erreurs.

Quand utiliser la factorisation ?

On utilise la factorisation pour résoudre des équations du second degré, simplifier des expressions ou déterminer les points d'intersection sur un graphique. Surtout avec la forme $ax^2 + bx + c = 0$, la factorisation rend la lecture des solutions beaucoup plus simple.

D'un autre côté, toutes les expressions ne peuvent pas être factorisées instantanément. Certaines sont difficiles à décomposer avec des entiers ; dans ce cas, on peut passer par la complétion du carré ou utiliser la formule quadratique (le discriminant).

À vous de jouer !

Essayez maintenant de factoriser $x^2 - x - 12$ par vous-même. La méthode est la même : cherchez deux nombres dont le produit est $-12$ et la somme est $-1$, puis vérifiez le résultat en développant.

Pour consolider votre compréhension, après avoir vérifié vos calculs à la main, essayez de résoudre la même expression avec une autre méthode.