Plus grand facteur commun (GCF) — Comment le trouver

Le plus grand facteur commun, ou GCF, est le plus grand entier positif qui divise chacun de deux ou plusieurs nombres entiers sans reste. Si vous cherchez le GCF de $18$ et $24$, la réponse est $6$ car $6$ divise exactement les deux nombres, et aucun entier plus grand ne le fait.

Vous pouvez trouver le GCF en listant les facteurs ou en utilisant la décomposition en facteurs premiers. La liste est généralement plus rapide pour les petits nombres. La décomposition en facteurs premiers est souvent plus claire quand les nombres sont plus grands.

Signification du plus grand facteur commun

Un facteur est un nombre entier qui divise exactement un autre nombre entier. Un facteur commun est un facteur partagé par les nombres. Le plus grand facteur commun est le plus grand qu’ils ont en commun.

C’est pourquoi le GCF apparaît dans les problèmes de groupement et dans la simplification des fractions. Dans de nombreux contextes scolaires, GCF et plus grand commun diviseur désignent la même idée pour les entiers positifs.

Comment trouver le GCF

1. Lister les facteurs

Écrivez tous les facteurs de chaque nombre, puis repérez le plus grand qui apparaît dans les deux listes.

Pour $18$, les facteurs sont :

$$1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18$$

Pour $24$, les facteurs sont :

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$

Le plus grand facteur présent dans les deux listes est $6$.

2. Utiliser la décomposition en facteurs premiers

Décomposez chaque nombre en facteurs premiers, puis gardez seulement les facteurs premiers communs aux deux nombres. Si un facteur premier commun apparaît plus d’une fois, utilisez l’exposant le plus petit. Le produit de ces facteurs communs est le GCF.

Exemple résolu : GCF de 18 et 24

Trouvez le GCF de $18$ et $24$ en utilisant la décomposition en facteurs premiers.

Commencez par décomposer chaque nombre :

$$18 = 2 \cdot 3^2$$ $$24 = 2^3 \cdot 3$$

Gardez maintenant seulement les nombres premiers communs aux deux nombres, en prenant l’exposant le plus petit pour chacun. Les deux nombres ont un $2$ en commun et un $3$ en commun :

$$2^1 \cdot 3^1 = 6$$

Donc :

$$\mathrm{GCF}(18,24) = 6$$

Une vérification rapide le confirme. $18 \div 6$ et $24 \div 6$ sont tous deux des nombres entiers, et le candidat suivant plus grand, $12$, ne divise pas $18$.

Erreurs fréquentes avec le GCF

Une erreur fréquente consiste à s’arrêter trop tôt. Pour $18$ et $24$, $2$ et $3$ sont tous deux des facteurs communs, mais aucun des deux n’est le plus grand.

Une autre erreur consiste à confondre facteurs et multiples. Le GCF cherche les nombres qui divisent exactement les deux valeurs. Il ne cherche pas les nombres que les valeurs d’origine peuvent devenir en grandissant.

Les élèves oublient aussi parfois des facteurs premiers communs lorsqu’ils utilisent la décomposition. Si un nombre premier apparaît dans les deux nombres, il doit figurer dans le GCF, mais seulement jusqu’au plus petit exposant.

Quand utiliser le plus grand facteur commun

Le GCF est particulièrement utile quand vous voulez simplifier des fractions, répartir des objets en groupes égaux les plus grands possible, ou trouver la plus grande unité qui s’adapte exactement à plusieurs mesures.

Par exemple, pour simplifier $\frac{18}{24}$, on commence par diviser le numérateur et le dénominateur par leur GCF, qui est $6$ :

$$\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$$

Essayez un problème similaire

Essayez de trouver le GCF de $20$ et $30$, d’abord en listant les facteurs, puis avec la décomposition en facteurs premiers. Si les deux méthodes donnent la même réponse, c’est que vous avez compris l’idée.