Dérivées partielles

Les dérivées partielles indiquent comment une fonction à plusieurs variables évolue lorsque vous ne faites varier qu’une seule variable en gardant les autres constantes. Si vous avez cherché comment calculer des dérivées partielles, la règle est la suivante : on dérive par rapport à une variable et on traite toutes les autres comme des constantes.

Pour une fonction $f(x,y)$, les deux dérivées partielles premières les plus courantes sont $f_x$ et $f_y$ :

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}.$$

Le symbole $\frac{\partial f}{\partial x}$ signifie dériver par rapport à $x$ en traitant $y$ comme fixe. Le symbole $\frac{\partial f}{\partial y}$ signifie faire la même chose par rapport à $y$ en traitant $x$ comme fixe.

Ce que signifient les dérivées partielles

Une dérivée ordinaire mesure une variation pour une fonction d’une seule variable. Une dérivée partielle fait le même travail pour une fonction de plusieurs variables, une direction à la fois.

Par exemple, si la température est modélisée par $T(x,y)$, alors $\frac{\partial T}{\partial x}$ mesure comment la température change lorsque vous vous déplacez dans la direction de $x$ tout en restant à la même valeur de $y$. Cette condition de « même valeur de $y$ » est l’idée essentielle.

Comment calculer une dérivée partielle

Utilisez cette liste :

1. Choisissez la variable par rapport à laquelle vous voulez dériver.
2. Traitez toutes les autres variables comme des constantes.
3. Appliquez les règles habituelles de dérivation.
4. Remplacez par un point seulement après avoir trouvé la formule de la dérivée.

Exemple détaillé : trouver $f_x$ et $f_y$

Soit

$$f(x,y) = x^2y + 3y^2.$$

Trouvez les dérivées partielles premières par rapport à $x$ et à $y$.

Étape 1 : Trouver $f_x$

Gardez $y$ constant. Alors $x^2y$ se comporte comme un multiple constant de $x^2$, et $3y^2$ est simplement une constante par rapport à $x$ :

$$\frac{\partial}{\partial x}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_x(x,y) = 2xy.$$

Étape 2 : Trouver $f_y$

Maintenant, gardez $x$ constant. Le terme $x^2y$ se dérive comme $x^2 \cdot y$, où $x^2$ est un coefficient constant :

$$\frac{\partial}{\partial y}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Donc les deux dérivées partielles premières sont

$$f_x(x,y) = 2xy, \qquad f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Si l’exercice demande les valeurs en $(1,2)$, remplacez après avoir dérivé :

$$f_x(1,2) = 2(1)(2) = 4, \qquad f_y(1,2) = 1^2 + 6(2) = 13.$$

Cet exemple montre le schéma principal : la variable que vous n’utilisez pas se comporte comme un nombre pendant cette dérivation.

Pourquoi « garder l’autre variable constante » est important

Quand vous calculez $\frac{\partial f}{\partial x}$, vous demandez la variation uniquement dans la direction de $x$. Donc toute variable autre que $x$ est fixée pour ce calcul.

C’est pourquoi

$$\frac{\partial}{\partial x}(3y^2) = 0$$

dans l’exemple ci-dessus. L’expression $3y^2$ peut dépendre de $y$, mais elle ne change pas quand $x$ varie si $y$ est maintenu fixe.

Erreurs fréquentes

1. Dériver par rapport à $x$ tout en laissant quand même varier $y$.
2. Oublier qu’un terme sans la variable choisie devient une constante, donc sa dérivée vaut $0$.
3. Confondre $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$. Ils répondent à des questions différentes.
4. Remplacer par un point avant de dériver, ce qui peut masquer la structure de la fonction.
5. Supposer que les dérivées partielles existent automatiquement partout. Elles peuvent ne pas exister en des points où la fonction n’est pas régulière.

Quand utilise-t-on les dérivées partielles ?

Les dérivées partielles apparaissent en calcul multivariable chaque fois qu’une sortie dépend de plusieurs entrées.

Parmi les usages courants, on trouve le gradient, les plans tangents, l’optimisation, les équations différentielles et les modèles issus de la physique, de l’économie et de l’ingénierie. Dans chaque cas, la question pratique est semblable : que se passe-t-il si une entrée change pendant que les autres restent fixes ?

Une image mentale utile

Imaginez le graphe de $z = f(x,y)$ comme une surface. La dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ donne la pente de cette surface si vous la coupez dans la direction où $y$ est fixe. La dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial y}$ fait la même chose dans la direction où $x$ est fixe.

Cette image suffit souvent à faire comprendre l’idée avant de passer au gradient ou aux plans tangents.

Essayez un exercice similaire

Essayez

$$g(x,y) = x^3 - 2xy + y^2.$$

Trouvez $g_x$ et $g_y$, puis évaluez-les tous les deux en $(2,1)$. Si vous voulez aller plus loin, essayez d’abord par vous-même, puis comparez avec un solveur pour vérifier que vous avez bien gardé l’autre variable constante à chaque fois.