Đạo hàm riêng

Đạo hàm riêng cho biết một hàm có nhiều đầu vào thay đổi như thế nào khi bạn chỉ thay đổi một biến và giữ các biến còn lại không đổi. Nếu bạn đang tìm cách tính đạo hàm riêng, thì quy tắc là: lấy đạo hàm theo một biến và coi các biến còn lại như hằng số.

Với hàm $f(x,y)$, hai đạo hàm riêng cấp một thường gặp nhất là $f_x$ và $f_y$:

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}.$$

Ký hiệu $\frac{\partial f}{\partial x}$ có nghĩa là lấy đạo hàm theo $x$ trong khi coi $y$ là cố định. Ký hiệu $\frac{\partial f}{\partial y}$ nghĩa là làm điều tương tự theo $y$ trong khi coi $x$ là cố định.

Đạo hàm riêng có ý nghĩa gì

Đạo hàm thông thường đo mức thay đổi của một hàm một biến. Đạo hàm riêng cũng làm điều đó cho hàm nhiều biến, nhưng xét từng hướng một.

Ví dụ, nếu nhiệt độ được mô hình hóa bởi $T(x,y)$, thì $\frac{\partial T}{\partial x}$ đo nhiệt độ thay đổi như thế nào khi bạn di chuyển theo hướng $x$ trong khi vẫn giữ nguyên cùng một giá trị $y$. Điều kiện “cùng một giá trị $y$” chính là ý tưởng cốt lõi.

Cách tìm đạo hàm riêng

Hãy dùng danh sách kiểm tra này:

1. Chọn biến mà bạn muốn lấy đạo hàm theo.
2. Coi mọi biến còn lại là hằng số.
3. Áp dụng các quy tắc đạo hàm thông thường.
4. Chỉ thay tọa độ điểm sau khi bạn đã tìm được công thức đạo hàm.

Ví dụ có lời giải: tìm $f_x$ và $f_y$

Cho

$$f(x,y) = x^2y + 3y^2.$$

Hãy tìm các đạo hàm riêng cấp một theo $x$ và theo $y$.

Bước 1: Tìm $f_x$

Giữ $y$ cố định. Khi đó $x^2y$ hoạt động như một hằng số nhân với $x^2$, còn $3y^2$ chỉ là một hằng số đối với $x$:

$$\frac{\partial}{\partial x}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_x(x,y) = 2xy.$$

Bước 2: Tìm $f_y$

Bây giờ giữ $x$ cố định. Hạng tử $x^2y$ được lấy đạo hàm như $x^2 \cdot y$, trong đó $x^2$ là một hệ số hằng:

$$\frac{\partial}{\partial y}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Vậy hai đạo hàm riêng cấp một là

$$f_x(x,y) = 2xy, \qquad f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Nếu bài toán yêu cầu giá trị tại $(1,2)$, hãy thay vào sau khi đã lấy đạo hàm:

$$f_x(1,2) = 2(1)(2) = 4, \qquad f_y(1,2) = 1^2 + 6(2) = 13.$$

Ví dụ này cho thấy quy luật chính: biến mà bạn không lấy đạo hàm theo sẽ được xem như một con số trong phép lấy đạo hàm đó.

Vì sao “giữ biến còn lại cố định” lại quan trọng

Khi bạn tính $\frac{\partial f}{\partial x}$, bạn đang hỏi mức thay đổi chỉ theo hướng $x$. Vì vậy mọi biến khác ngoài $x$ đều được giữ cố định trong phép tính đó.

Đó là lý do vì sao

$$\frac{\partial}{\partial x}(3y^2) = 0$$

trong ví dụ trên. Biểu thức $3y^2$ có thể phụ thuộc vào $y$, nhưng nó không thay đổi khi $x$ thay đổi nếu $y$ được giữ cố định.

Những lỗi thường gặp

1. Lấy đạo hàm theo $x$ nhưng vẫn để $y$ thay đổi.
2. Quên rằng một hạng tử không chứa biến đã chọn sẽ trở thành hằng số, nên đạo hàm của nó là $0$.
3. Nhầm lẫn giữa $\frac{\partial f}{\partial x}$ và $\frac{\partial f}{\partial y}$. Chúng trả lời những câu hỏi khác nhau.
4. Thay tọa độ điểm vào trước khi lấy đạo hàm, điều này có thể che mất cấu trúc của hàm.
5. Cho rằng đạo hàm riêng tự động tồn tại ở mọi nơi. Chúng có thể không tồn tại tại những điểm mà hàm không đủ tốt.

Khi nào đạo hàm riêng được sử dụng

Đạo hàm riêng xuất hiện trong giải tích nhiều biến bất cứ khi nào một đầu ra phụ thuộc vào nhiều đầu vào.

Các ứng dụng phổ biến gồm gradient, mặt phẳng tiếp tuyến, tối ưu hóa, phương trình vi phân và các mô hình trong vật lý, kinh tế học và kỹ thuật. Trong mỗi trường hợp, câu hỏi thực tế đều giống nhau: điều gì xảy ra nếu một đầu vào thay đổi còn các đầu vào khác được giữ cố định?

Một hình dung giúp bạn dễ hiểu hơn

Hãy nghĩ đồ thị của $z = f(x,y)$ như một mặt cong. Đạo hàm riêng $\frac{\partial f}{\partial x}$ cho biết độ dốc của mặt đó nếu bạn cắt nó theo hướng mà $y$ được giữ cố định. Đạo hàm riêng $\frac{\partial f}{\partial y}$ cũng cho biết điều tương tự theo hướng mà $x$ được giữ cố định.

Hình dung đó thường đủ để giúp bạn nắm được ý tưởng trước khi học tiếp về gradient hoặc mặt phẳng tiếp tuyến.

Hãy thử một bài tương tự

Hãy thử

$$g(x,y) = x^3 - 2xy + y^2.$$

Tìm $g_x$ và $g_y$, rồi tính cả hai tại $(2,1)$. Nếu muốn tiến thêm một bước, hãy tự làm trước rồi so sánh với công cụ giải để kiểm tra xem bạn có thực sự giữ biến còn lại cố định ở mỗi lần hay không.