Derivate parziali

Le derivate parziali indicano come cambia una funzione con più di una variabile di ingresso quando ne fai variare solo una e tieni costanti le altre. Se hai cercato come calcolare le derivate parziali, la regola è questa: deriva rispetto a una variabile e tratta tutte le altre come costanti.

Per una funzione $f(x,y)$, le due derivate parziali prime più comuni sono $f_x$ e $f_y$:

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}.$$

Il simbolo $\frac{\partial f}{\partial x}$ significa derivare rispetto a $x$ trattando $y$ come fisso. Il simbolo $\frac{\partial f}{\partial y}$ significa fare la stessa cosa rispetto a $y$ trattando $x$ come fisso.

Cosa significano le derivate parziali

Una derivata ordinaria misura la variazione di una funzione di una sola variabile. Una derivata parziale svolge lo stesso ruolo per una funzione di più variabili, una direzione alla volta.

Per esempio, se la temperatura è modellata da $T(x,y)$, allora $\frac{\partial T}{\partial x}$ misura come cambia la temperatura mentre ti muovi nella direzione di $x$ restando allo stesso valore di $y$. Questa condizione di "stesso valore di $y$" è l’idea centrale.

Come calcolare una derivata parziale

Usa questa checklist:

1. Scegli la variabile rispetto a cui vuoi derivare.
2. Tratta ogni altra variabile come una costante.
3. Applica le solite regole di derivazione.
4. Sostituisci un punto solo dopo aver trovato la formula della derivata.

Esempio svolto: trova $f_x$ e $f_y$

Sia

$$f(x,y) = x^2y + 3y^2.$$

Trova le derivate parziali prime rispetto a $x$ e a $y$.

Passo 1: trova $f_x$

Tieni $y$ costante. Allora $x^2y$ si comporta come un multiplo costante di $x^2$, e $3y^2$ è semplicemente una costante rispetto a $x$:

$$\frac{\partial}{\partial x}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_x(x,y) = 2xy.$$

Passo 2: trova $f_y$

Ora tieni $x$ costante. Il termine $x^2y$ si deriva come $x^2 \cdot y$, dove $x^2$ è un fattore costante:

$$\frac{\partial}{\partial y}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Quindi le due derivate parziali prime sono

$$f_x(x,y) = 2xy, \qquad f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Se il problema chiede i valori nel punto $(1,2)$, sostituisci dopo aver derivato:

$$f_x(1,2) = 2(1)(2) = 4, \qquad f_y(1,2) = 1^2 + 6(2) = 13.$$

Questo esempio mostra lo schema principale: la variabile che non stai usando si comporta come un numero durante quella derivazione.

Perché è importante "tenere costante l’altra variabile"

Quando calcoli $\frac{\partial f}{\partial x}$, stai chiedendo la variazione solo lungo la direzione di $x$. Quindi ogni variabile diversa da $x$ resta fissa in quel calcolo.

Per questo

$$\frac{\partial}{\partial x}(3y^2) = 0$$

nell’esempio sopra. L’espressione $3y^2$ può dipendere da $y$, ma non cambia al variare di $x$ quando $y$ è tenuto fisso.

Errori comuni

1. Derivare rispetto a $x$ lasciando comunque variare $y$.
2. Dimenticare che un termine senza la variabile scelta diventa una costante, quindi la sua derivata è $0$.
3. Confondere $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$. Rispondono a domande diverse.
4. Sostituire un punto prima di calcolare la derivata, cosa che può nascondere la struttura della funzione.
5. Supporre che le derivate parziali esistano automaticamente ovunque. Possono non esistere in punti in cui la funzione non si comporta bene.

Quando si usano le derivate parziali

Le derivate parziali compaiono nel calcolo multivariabile ogni volta che un’uscita dipende da più ingressi.

Gli usi più comuni includono gradiente, piani tangenti, ottimizzazione, equazioni differenziali e modelli della fisica, dell’economia e dell’ingegneria. In ogni caso, la domanda pratica è simile: cosa succede se cambia un ingresso mentre gli altri restano fissi?

Un’immagine mentale utile

Pensa al grafico di $z = f(x,y)$ come a una superficie. La derivata parziale $\frac{\partial f}{\partial x}$ ti dice la pendenza di quella superficie se la tagli nella direzione in cui $y$ è fisso. La derivata parziale $\frac{\partial f}{\partial y}$ fa la stessa cosa nella direzione in cui $x$ è fisso.

Spesso questa immagine basta per far capire l’idea prima di passare al gradiente o ai piani tangenti.

Prova un esercizio simile

Prova con

$$g(x,y) = x^3 - 2xy + y^2.$$

Trova $g_x$ e $g_y$, poi calcola entrambi nel punto $(2,1)$. Se vuoi fare un passo in più, prova prima da solo e poi confronta il risultato con un risolutore per verificare se hai davvero tenuto costante l’altra variabile ogni volta.