偏微分

偏微分は、入力が1つではない関数で、1つの変数だけを変え、他の変数を一定にしたときにどう変化するかを表します。偏微分の求め方を調べているなら、ルールはこれです。1つの変数について微分し、残りは定数として扱います。

関数 $f(x,y)$ では、最もよく使われる1階の偏微分は $f_x$ と $f_y$ です。

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}.$$

記号 $\frac{\partial f}{\partial x}$ は、$y$ を固定したまま $x$ について微分することを意味します。記号 $\frac{\partial f}{\partial y}$ は、今度は $x$ を固定したまま $y$ について同じことをするという意味です。

偏微分の意味

通常の微分は、1変数関数の変化を測るものです。偏微分は、多変数関数に対して同じ役割を果たしますが、1回に1つの方向だけを見ます。

たとえば、温度が $T(x,y)$ で表されるなら、$\frac{\partial T}{\partial x}$ は、$y$ の値を同じに保ったまま $x$ 方向に動いたとき、温度がどう変化するかを表します。この「同じ $y$ の値に保つ」という条件こそが、偏微分の核心です。

偏微分の求め方

次のチェックリストを使います。

1. どの変数について微分するかを決める。
2. 他のすべての変数を定数として扱う。
3. 通常の微分のルールを使う。
4. 点を代入するのは、微分の式を求めたあとにする。

例題：$f_x$ と $f_y$ を求める

次の関数を考えます。

$$f(x,y) = x^2y + 3y^2.$$

$x$ と $y$ に関する1階の偏微分を求めます。

Step 1: $f_x$ を求める

$y$ を定数として固定します。すると $x^2y$ は $x^2$ の定数倍のように見え、$3y^2$ は $x$ に関してはただの定数です。

$$\frac{\partial}{\partial x}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_x(x,y) = 2xy.$$

Step 2: $f_y$ を求める

今度は $x$ を定数として固定します。項 $x^2y$ は、$x^2$ を定数倍とする $x^2 \cdot y$ の形として微分します。

$$\frac{\partial}{\partial y}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

したがって、2つの1階偏微分は

$$f_x(x,y) = 2xy, \qquad f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

となります。

問題が $(1,2)$ での値を求めるなら、微分したあとで代入します。

$$f_x(1,2) = 2(1)(2) = 4, \qquad f_y(1,2) = 1^2 + 6(2) = 13.$$

この例からわかる基本パターンは、使っていないほうの変数は、その偏微分の間は数のように振る舞うということです。

「他の変数を一定にする」が重要な理由

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を計算するとき、見ているのは $x$ 方向だけの変化です。したがって、その計算では $x$ 以外の変数はすべて固定されます。

だから上の例では

$$\frac{\partial}{\partial x}(3y^2) = 0$$

となります。式 $3y^2$ は $y$ には依存していても、$y$ を固定しているなら、$x$ が変わっても変化しないからです。

よくあるミス

1. $x$ について微分しているのに、$y$ も変化するものとして扱ってしまう。
2. 選んだ変数を含まない項は定数になるので、その微分が $0$ になることを忘れる。
3. $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ を混同する。これらは別の問いに答えている。
4. 微分する前に点を代入してしまい、関数の構造が見えにくくなる。
5. 偏微分はどこでも自動的に存在すると考えてしまう。関数の振る舞いがよくない点では存在しないことがある。

偏微分が使われる場面

偏微分は、多変数関数で、出力が複数の入力に依存しているときの多変数微積分で現れます。

よくある用途には、勾配、接平面、最適化、微分方程式、そして物理・経済・工学のモデルがあります。どの場合でも実際の問いは似ています。1つの入力だけが変わり、他は固定されたままなら何が起こるか、ということです。

イメージしやすい見方

$z = f(x,y)$ のグラフを曲面だと考えてみてください。偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ は、$y$ を固定した方向でその曲面を切ったときの傾きを表します。偏微分 $\frac{\partial f}{\partial y}$ は、$x$ を固定した方向で同じことを表します。

このイメージだけでも、勾配や接平面に進む前に、偏微分の考え方がかなりつかみやすくなります。

似た問題に挑戦してみよう

次を試してみましょう。

$$g(x,y) = x^3 - 2xy + y^2.$$

$g_x$ と $g_y$ を求め、そのあと両方を $(2,1)$ で評価してみてください。次のステップに進みたいなら、まず自分で解いてみて、そのあとソルバーと比べて、毎回きちんと他の変数を一定にできていたか確認してみましょう。